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对偶空间上的弱～*连续算子半群

作　者: 贾云锋
导　师: 曹怀信
学　校: 陕西师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 对偶空间弱~*连续算子半群无穷小生成元豫解式豫解集耗散算子
分类号: O177
类　型: 硕士论文
年　份: 2003年
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内容摘要

算子半群理论的产生源于人们对微分方程问题的研究。20世纪30年代，在人们逐步意识到算子半群理论在微分方程，概率论和遍历性理论等方面的迅速应用后，算子半群理论得以充分发展。经过多半个世纪的发展，在Hille，Phillips，Goldstein，Pazy，Arendt，Davie和Ahmed等人的努力下，算子半群理论的研究蓬勃发展，取得了长足的进步，算子半群理论的内容和类型也进一步走向扩大化。一致连续算子半群，强连续算子半群，正算子半群，分布算子半群，微分算子半群，解析算子半群，对偶算子半群，积分算子半群，紧算子半群等类型的算子半群相继进入了人们的研究领域，得到了实质性发展，在应用中显示了其活力，并广泛应用于逼近论，控制论和稳定性理论等方面。算子半群理论中研究的一个基本问题是半群与其生成元之间的关系。给定一个半群可以定义其生成元。纵观人们对算子半群理论的研究，无论是哪种类型的算子半群，其研究的一个中心问题是半群的生成元定理及半群所具有的性质，也就是通过生成元来对算子半群进行刻画。没有对生成元的讨论，算子半群理论的研究也就失去了必要的基础。本文也是从这个角度出发，引入了Banach空间的对偶空间上的弱^*连续算子半群及其生成元，并对相关内容进行了讨论。下面是本文的结构及主要内容。第一章研究定义在Banach空间X上的C₀-算子半群{T（t）}_t≥0的对偶半群{T^*（t）}_t≥0。一般说来，{T（t）}_t≥0是强连续的，但{T^*（t）}_t≥0在对偶空间X^*上未必是强连续的（通过具体例子进行说明），而是弱^*连续的；同时，{T^*（t）}_t≥0的生成元是{T（t）}_t≥0的生成元A的对偶算子A^*，且A^*在X^*中是弱^*闭的，弱^*稠定的。对于A和A^*的豫解集及豫解式则有关系ρ（A）（?）ρ（A^*）和R（λ，A^*）=R（λ，A）^*。讨论了{T^*（t）}_t≥0的几条简单性质。最后证明了{T^*（t）}_t≥0在上是强连续的，且这时生成元为。第二章是本文的核心内容。研究X^*上弱^*连续算子半群的相关性质。在X的对偶空间X^*上引入了弱^*连续算子半群及其生成元的概念，通过生成元对弱^*连续算子半群进行刻画。首先，有界线性算子A可以唯一决定X^*上的弱^*连续算子半群{T（t）=e^tA}_t≥0。若A是弱^*连续算子半群{T（t）}_t≥0的生成元，则A是弱^*闭的，弱^*稠定的；同时也给出了{T（t）}_t≥0的一些性质。其次，讨论了X^*上弱^*连续算子半群的唯一性。设{S（t）}t≥0和{T（t）}_t≥0是X^*上的弱^*连续算子半群，我们讨论了S（t）=T（t），t≥0时所满足的几个条件。最后，讨论了{T（t）}_t≥0的生成元A的豫解式R（λ，A）及豫解集ρ（A），并通过R（λ，A）与ρ（A）的相关性质刻画了厂＊h刁；，说明了线性算子A是、卜上的弱”连续算子半群的生成元当且仅当A是弱“闭的翼弱”稠定的且尸川。叮叫且川人蛋A川＊三5，人＞o 第三章从另一角度出发，利用定义在X”上的耗散算子刻画弱“连续算子半群的生成元．先给出了判断一线性算子是否为耗散算子的条件，接着给出了X”上弱”稠定线性算子A是一压缩弱”连续算子半群口(L小护的生成元的充要条件，最后说明了对于X”上的弱”闭的，弱”稠定的线性算子人若A和A”都是耗散的，那么A是X”上一压缩弱”连续算子半群的生成元．

全文目录

引言  7-10
第一章 C_0-算子半群的对偶半群  10-16
  1.1 对偶半群及其生成元  10-12
  1.2 生成元对对偶半群的刻画  12-16
第二章对偶空间上的弱~*连续算子半群  16-38
  2.1 弱~*连续算子半群，生成元的性质及其对弱~*连续算子半群的刻画  16-28
  2.2 对偶空间上弱~*连续算子半群的唯一性  28-31
  2.3 弱~*连续算子半群生成元的豫解式及豫解集特征  31-38
第三章对偶空间上的耗散算子  38-45
  3.1 耗散算子及其性质  38-40
  3.2 对偶空间上的耗散算子与弱~*连续算子半群  40-45
总结  45-46
致谢  46-47
参考文献  47-49
攻读硕士学位期间的研究成果  49

对偶空间上的弱～*连续算子半群

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