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平面偶应力问题的辛求解方法

作　者: 房桂祥
导　师: 钟万勰
学　校: 大连理工大学
专　业: 固体力学
关键词: 平面偶应力 Hamilton求解体系辛对偶空间本征展开法
分类号: O302
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

平面偶应力理论虽然早在上世纪初就出现了，但是其分析求解一直没有得到很好的解决。现有的求解手段主要采用数值方法——如有限元法。而能给出其解析解的只限于某些特殊的偶应力问题。辛方法作为一种崭新的理论求解体系已成功应用于板、梁等弹性力学问题的求解，与经典的弹性力学求解体系相比有着其独特的优越性。本文目的在于把这种解析方法应用到平面偶应力问题的求解。本文借助于Reissner板与平面偶应力的模拟关系，在平面偶应力问题的类Hellinger-Reissner变分原理的基础上，以应力函数为原变量，部分应变为其对偶变量，推导出力法形式的平面偶应力问题的Hamilton对偶方程组。于是把平面偶应力问题引入到Hamilton体系，从而利用辛空间的分离变量和本征函数向量展开法获得其解。本文讨论了两种典型边界条件——对边自由和对边固支矩形域问题的解析求解。首先求解出由于用应变代替位移作为基本变量而带来的对边自由矩形域问题的所有非齐次特解，这些解均是有特殊物理意义的解。然后，推导出这两类边界条件各自的本征值超越方程，并进一步给出其对应的非零本征值的本征解。从而依据叠加原理，获得这两种典型边界条件问题的解。最后，本文求解了一半无穷矩形域单向拉伸问题，数值结果证明了微尺寸下经典弹性力学的求解方法得出的结果不再适用，由于偶应力的影响，单向拉伸问题在固定端角点处的奇异性消失。本文将辛方法成功应用于矩形域平面偶应力问题的求解，为这一类问题提供了一条崭新的解决途径。算例结果也很好地证明了辛方法的有效性和优越性。

全文目录

摘要  3-4
ABSTRACT  4-5
目录  5-7
1 绪论  7-12
  1.1 引言  7
  1.2 课题的理论意义和应用价值  7-8
  1.3 国内外研究概况及发展趋势  8-10
  1.4 本文的主要工作  10-12
2 辛体系的一些基本知识  12-18
  2.1 辛空间  12-15
  2.2 哈密顿原理与哈密顿正则方程  15-18
3 具有应力偶的平面弹性理论及与REISSNER板的模拟关系  18-31
  3.1 具有应力偶的平面弹性理论  18-26
    3.1.1 引言  18
    3.1.2 平衡方程  18-19
    3.1.3 应力偶理论中的变形  19-22
    3.1.4 协调方程  22-24
    3.1.5 具有应力偶的平面问题的应力函数  24-26
  3.2 REISSNER板弯曲和平面偶应力理论模拟关系  26-29
  3.3 REISSNER板弯曲理论的H-R变分原理  29-31
4 平面偶应力问题的辛求解体系  31-62
  4.1 导入哈密顿体系  31-37
  4.2 矩形域两种典型边界条件下的零本征值的本征解  37-43
  4.3 非零本征值的本征解  43-51
    4.3.1 对称变形非零本征值的本征解  45-47
      4.3.1.1 对边自由对称非零本征解  46-47
      4.3.1.2 对边固支对称非零本征解  47
    4.3.2 反对称变形非零本征值的本征解  47-51
      4.3.2.1 对边自由反对称非零本征解  49-50
      4.3.2.2 对边固支反对称非零本征解  50-51
  4.4 算例  51-62
    4.4.1 算例及其解  51
    4.4.2 边界条件变分  51-54
    4.4.3 本征值求解  54
    4.4.4 算例结果图  54-62
5 结论与展望  62-63
参考文献  63-66
附录作者硕士阶段(待)发表的论文  66-67
致谢  67-69

平面偶应力问题的辛求解方法

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