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可积系统与非等谱孤子方程的求解

作　者: 孙业朋
导　师: 陈登远
学　校: 上海大学
专　业: 计算数学
关键词: 离散孤子方程 非等谱方程 Hamilton结构 Lax可积性 Liouville可积性 无穷守恒律 扩展可积模型 双非线性化方法 Hirota方法 Wronskian技巧 精确解 (2+1)-维孤子系统 对称约束
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2006年
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内容摘要


本文研究的主要内容包括：孤子方程族的生成和Lie群结构方程，Hamilton结构，Liouville可积性，无穷守恒律，Lax对与共轭Lax对的双非线性化及可积辛映射与有限维Hamilton系统，孤子方程的扩展可积模型。利用Hirota方法，Wronskian技巧来研究一些等谱与非等谱孤子方程的多孤子解。利用(2+1)维孤子系统的对称约束生成(1+1)维的孤子方程，并应用Gateaux导数与泛函导数的关系得到位势对称约束的完全形式。 在第二章中，首先从所建立的新谱问题出发导出一族Lax可积的孤子方程，并研究它的双Hamilton结构与Liouville可积性。应用Lax对与共轭Lax对的双非线性化方法生成新的可积辛映射与有限维Hamilton系统。由此利用可换流的对合解给出孤子方程族解的对合表示。最后构造新的Loop代数(?)，得到该方程族的扩展可积模型。 第三章主要研究三个离散的等谱问题。首先从第一离散的谱问题导出一类晶格孤子方程，并证明它具有离散的Hamilton结构与Liouville可积性。通过双非线性化方法生成新的有限维Hamilton可积系统与可积辛映射，并给出它的无穷守恒律。其次，构造新的代数系统，导出与Lotka-Volterra格相关的离散方程族，并研究它的可积性与可积耦合。最后从第三谱问题出发导出离散孤子方程的正负族，并求出位势函数和特征函数的对称约束，由Lax对的非线性化产生新的可积辛映射与有限维Hamilton系统。 第四章首先从Lie群结构方程导出非等谱AKNS方程族。通过选取Loop代数建立非等谱AKNS方程族的扩展可积模型。利用Hirota方法获得非等谱AKNS方程的双线性导数方程，并给出N-孤子解的表达式。应用Wronskian技巧证明非等谱AKNS方程具有双Wronskian解。通过约化获得非等谱Schr(?)dinger方程与它的N-孤子解和Wronskian解。最后建立非等谱AKNS方程的广义双Wronskian解。其所用的技术可推广到其它非等谱方程。 第五章对Hirota方法作直接地推广。以修正Vakhnenko方程为例，求得Hirota形式的新解。对于Wronskian技巧，引入对参数的求导，以修正Bogoyavlenskii-Schiff方程为例，得到广义的新Wronskian解。 第六章主要研究2+1维孤子系统的位势约束问题。通过高维孤子系统的位势约束生成低维的孤子方程族。首先由KP系统的对称约束生成了AKNS方程族，并给出其隐形表示。进而推广KP系统的约束，且求得多元的非等谱AKNS方程族。

全文目录


摘要  7-9
Abstract  9-13
第一章 绪论  13-21
  §1.1 引言  13
  §1.2 可积系统  13-15
  §1.3 孤立子方程的求解  15-18
  §1.4 非等谱方程  18-19
  §1.5 论文的主要工作  19-21
第二章 连续孤子方程族  21-36
  §2.1 连续系统的基本概念与符号  21-24
  §2.2 非线性孤子方程族及其Hamilton结构  24-27
  §2.3 对称约束与有限维可积系统  27-31
  §2.4 孤子方程族解的对合表示  31-33
  §2.5 方程族的扩展可积模型  33-36
第三章 离散孤子方程族  36-67
  §3.1 离散系统的基本概念与符号  36-38
  §3.2 一族离散方程与可积辛映射  38-48
    §3.2.1 一族可积的离散方程  38-41
    §3.2.2 Lax对的双非线性化与可积辛映射  41-47
    §3.2.3 方程族的无穷守恒律  47-48
  §3.3 与Lotka-Volterra格相关的离散方程族  48-55
    §3.3.1 新的代数系统与离散方程族  48-51
    §3.3.2 离散Hamilton结构与无穷守恒律  51-53
    §3.3.3 离散方程族的可积耦合  53-55
  §3.4 离散方程的正负族与可积辛映射  55-67
    §3.4.1 离散方程的正族  55-59
    §3.4.2 离散方程的负族  59-62
    §3.4.3 可积辛映射与有限维Hamilton系统  62-67
第四章 非等谱孤子方程的解  67-85
  §4.1 双线性导数及其性质  67-68
  §4.2 Wronskian行列式及其性质  68-70
  §4.3 非等谱AKNS方程族的扩展可积模型  70-74
  §4.4 非等谱AKNS方程的双线性形式与N-孤子解  74-77
  §4.5 非等谱AKNS方程的双Wronskian解  77-80
  §4.6 非等谱AKNS方程的约化  80-82
  §4.7 非等谱AKNS方程的广义双Wronskian解  82-85
第五章 孤子方程解的新表示  85-93
  §5.1 修正Vakhnenko方程Hirota形式的新解  85-87
  §5.2 修正Bogoyavlenskii-Schiff方程的新Wronskian解  87-93
    §5.2.1 mBS方程的三线性形式与N-孤子解  87-88
    §5.2.2 mBS方程的新Wronskian解  88-93
第六章 (2+1)维系统的约束与孤子方程族  93-111
  §6.1 KP系统约束与ANKS方程族  93-96
  §6.2 KP系统约束的推广与多元AKNS方程族  96-100
  §6.3 KP系统对称约束的完全形式  100-103
  §6.4 MKP系统约束与非线性Schr(o|¨)dinger方程族  103-107
  §6.5 MKP系统对称约束的完全形式  107-111
参考文献  111-121
博士期间科研成果  121-123
致谢  123

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程
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