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求解一类非线性微分方程的数值解法

作　者: 王洋
导　师: 么焕民
学　校: 哈尔滨师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 微分方程边值条件再生核空间精确解算法
分类号: O241.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 68次
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内容摘要

微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学以及其它学科的发展密切相关的.在自动控制,各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究,化学反应过程稳定性的研究等领域都有广泛的应用.这些问题都可以化为求微分方程的解.然而,许多微分方程求不出其精确解,而只能得到精确解程度较高的近似解.另外还应指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的.当微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律.事实上,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法,微分方程也就成了最有生命力的数学分支.因此,寻找求解这些具有实际背景和理论价值的微分方程有效的数值方法变得越来越重要了.本文运用再生核空间数值分析理论与技巧,解决了以下非线性微分方程的数值求解问题.首先,在问题的解存在和唯一的前提下,在再生核空间W5[0,1]中得到了一类四阶带边值条件的常微分方程求解新算法,得到了精确解的级数形式的精确表达式,证明了数值解的计算误差依结点数的增加严格单调递减并得到了满意的数值结果,数值算例验证了这个方法的有效性.其次,在再生核空间W(3,3)(Ω)中运用搜极小的方法研究讨论了带初边值条件的非线性双曲电报方程.构造了标准正交基,将方程的未知函数在这组基上进行Fourier级数展开,从而得到了精确解的级数形式的精确表达式.通过对非线性项搜极小的方法得到了精确解的数值逼近解,证明了近似解的截断误差随着结点数的增加单调递减的良好性质,得到了满意的数值结果.最后,在另外一个再生核空间W3[0,1]中研究了一类非线性Neumman边值问题,采用对非线性项构造迭代序列的方法,得到了精确解的级数形式的精确表达式和满意的数值结果.

全文目录

摘要  8-9
Abstract  9-11
第1章绪论  11-15
  1.1 背景及意义  11-12
  1.2 再生核理论发展概述  12-14
  1.3 本章小结  14-15
第2章再生核空间W_p[a,b]的构造与其再生核函数  15-23
  2.1 再生核空间W_p[a,b]及其再生核函数  15-20
  2.2 再生核函数的基本性质  20-21
  2.3 一些再生核函数的表达式  21-22
  2.4 标准正交基{ψ_i(x)}_(i=1)~∞的构造  22
  2.5 本章小结  22-23
第3章求解一类非线性四阶方程的搜极小算法  23-30
  3.1 再生核空间W5_[0,1]中的线性算子  23-24
  3.2 主要结果与算子方程解的结构  24-27
  3.3 数值算例  27-29
  3.4 本章小结  29-30
第4章求解一类非线性带积分边界条件的电报方程  30-40
  4.1 问题的背景介绍  30-31
  4.2 相关再生核空间的构造  31-35
  4.3 关于再生核空间W_((3,3))(Ω)的有界线性算子  35
  4.4 主要结论  35-38
  4.5 数值算例  38-39
  4.6 本章小结  39-40
第5章求解一类二阶非线性Neumann问题  40-44
  5.1 定义与定理  40-42
  5.2 算子方程(5-3)精确解的表达  42-43
  5.3 数值算例  43
  5.4 本章小结  43-44
结论  44-45
参考文献  45-50
附录1  50-51
攻读硕士学位期间所发表的学术论文  51-53
致谢  53

求解一类非线性微分方程的数值解法

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