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孤子方程族的可积耦合系统和分数阶Hamiltonian结构

作　者: 于发军
导　师: 张鸿庆
学　校: 大连理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 孤子方程可积系统精确解非线性发展方程 Lax可积可积耦合系统 Hamiltonian结构离散孤子方程 Liouville可积性
分类号: O175.2
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

本文研究的主要内容包括：运用李代数，首先给出一些方程族的可积耦合系统的构造模式，并且给出了非等谱情形的离散可积耦合系统。进而讨论了连续和离散方程族的零曲率表示的李代数结构。另外，还介绍了孤子族的生成及Hamiltonian结构，Liouville可积性。最后利用分数阶微积分给出了孤子方程的分数阶Hamiltonian结构。其具体内容为：第一章介绍了孤立子理论，可积系统，非线性发展方程精确求解，分数阶微积分的历史发展及研究现状，同时介绍了国内外学者在这方面取得的成果。第二章简要的介绍了Kac-Moody代数，Hamiltonian函数的概念及相关的性质。详细的阐述和介绍了AC=BD理论中的一些相关的定理和性质及其在这个框架下的一些重要应用。第三章首先从新的谱问题出发导出一族矩阵Lax可积方程族，并获得它的Hamiltonian结构。另外从Lax对出发，采用提出的谱扩张方法得到了许多新的可积耦合方程族，在此基础上，把这种方法推广到高维空间，并获得了一系列的多分量可积耦合方程族。但是利用这种方法不能得到可积耦合方程族的Hamiltonian结构（尤其是多分量可积耦合方程族的Hamiltonian结构），针对此问题，文中给出广义的killing内积，并且运用广义的二次迹恒等式获得了多分量耦合系统的Hamiltonian结构。其中给出了多分量Jaulent-Miodek方程族，多分量2+1维GJ方程族和耦合Dirac方程族的Hamiltonian结构。另外利用一个广义的矩阵谱问题，得到了耦合方程族的R-矩阵。其中以AKNS族为例，得到了耦合AKNS方程族的R-矩阵。第四章从loop代数（?）₁的一个子代数出发，利用屠格式求出了一类离散情形Lax可积耦合的系统，并且得到非等谱的离散可积方程族和耦合系统，另外我们还提出了2+1维非等谱离散可积耦合形式，利用谱参数λ满足的非等谱条件，得到了Blaszak-Marciniak晶格方程的耦合系统。国际著名杂志《Physics Letters A》的编委A.R.Bishop对此种方法给出了很好的评价“The method gives two kinds of classification to a soliton equation，itis an interesting and important work”。另外，进一步考虑了离散系统Darboux变换。最后讨论了离散可积方程与连续可积方程的联系，通常人们采用的是对势函数作变换，而文中采用对算子作变换，利用计算机软件通过比较算子的系数，得到了很好的结果，并且把一个新的离散方程转化成AKNS方程。这样做不仅可以建立离散与连续方程之间的关系，更重要的是可以通过连续型方程的精确解（解析解）获得相应的离散方程的数值解，这样就可以得到更多，更好的数值解。第五章在整数情形可积系统的基础上，进一步考虑分数形的Hamiltonian结构，文中运用了外微分与分数阶微积分结合，给出了分数空间和分数形式的Hamiltonian形式。在这里主要考虑要把整数情形的结论发展到分数情形，建立一套分数阶Hamiltonian结构和可积系统。我们已经完成了分数阶零曲率方程的构造，得到了分数阶情形的AKNS方程和C-KdV方程，并且给出了它们简单形式的Hamiltonian函数。另外利用Riemann-Liouville分数阶算子和分数形式的Possion括号，把Hamiltonian结构的辛形式推广到分数阶情形。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-10
第一章绪论  10-20
  §1.1 引言  10
  §1.2 孤子的发现和发展  10-11
  §1.3 可积系统的发展概况  11-14
  §1.4 非线性发展方程(组)精确求解的发展情况  14-16
  §1.5 分数微积分的历史和发展概况  16-18
  §1.6 本文的选题和主要工作  18-20
第二章预备知识  20-42
  §2.1 Kac-Moody代数  20-26
    §2.1.1 单李代数A_l  21-23
    §2.1.2 仿射李代数A_1~(1)  23-25
    §2.1.3 对称,圈代数与Virasoro代数  25-26
  §2.2 Hamiltonian系统  26-27
  §2.3 AC=BD理论及应用  27-42
    §2.3.1 AC=BD理论及其基本思想  28-30
    §2.3.2 AC=BD应用  30-42
第三章构造新的可积耦合方程族  42-86
  §3.1 Lax算子零曲率表示的代数结构  42-45
  §3.2 多分量TD方程族的可积耦合系统  45-52
    §3.2.1 多分量TD族  48-49
    §3.2.2 带有5个任意函数的多分量可积耦合系统  49-52
  §3.3 矩阵李代数和可积耦合系统  52-61
    §3.3.1 新的矩阵loop代数和应用  53-57
    §3.3.2 多分量C-KdV方程族的可积耦合系统  57-61
  §3.4 多分量方程族的Hamiltonian结构  61-72
    §3.4.1 广义的二次迹恒等式  62-63
    §3.4.2 多分量方程族的Hamiltonian结构  63-72
  §3.5 耦合方程族的R-矩阵  72-86
    §3.5.1 矩阵李代数和可积耦合系统  73-77
    §3.5.2 可积耦合系统的R-矩阵  77-86
第四章构造非等谱的离散可积方程族和耦合系统  86-126
  §4.1 离散零曲率方程的基本代数结构  86-90
  §4.2 上三角矩阵李代数和离散可积耦合方程族  90-96
    §4.2.1 由上三角矩阵李代数到离散可积耦合系统  90-92
    §4.2.2 一个新的离散方程族  92-96
  §4.3 2+1-维非等谱离散可积耦合系统  96-102
  §4.4 非等谱Toda离散方程族  102-112
  §4.5 离散可积方程与连续可积方程的联系  112-126
    §4.5.1 一个新的离散方程族和它的Hamiltonian系统  113-115
    §4.5.2 离散方程族和多分量AKNS族的关系  115-126
第五章分数形的零曲率方程和Hamiltonian系统  126-144
  §5.1 分数微积分定义及其性质  126-130
  §5.2 分数阶孤子方程的Hamiltonian结构  130-136
    §5.2.1 分数阶微积分简介  130-135
    §5.2.2 分数广义的Hamiltonian系统  135-136
  §5.3 分数阶零曲率方程  136-144
    §5.3.1 分数阶零曲率方程  136-137
    §5.3.2 分数阶Hamiltonian系统  137-144
结论  144-146
参考文献  146-156
攻读博士学位期间发表学术论文、参加的课题及获奖情况  156-158
创新点摘要  158-160
致谢  160-162

孤子方程族的可积耦合系统和分数阶Hamiltonian结构

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