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非线性发展方程几类求解方法的研究

作　者: 刘中飞
导　师: 韩家骅
学　校: 安徽大学
专　业: 理论物理
关键词: 齐次平衡法 双曲函数法 函数变换法 Jacobi椭圆函数展开法 行波解 精确解 孤立波解 非线性发展方程 孤立子
分类号: O241.7
类　型: 硕士论文
年　份: 2005年
下　载: 374次
引　用: 1次
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内容摘要


随着科学技术的发展,在自然科学和社会科学领域中广泛存在的非线性问题,越来越引起人们的关注,而且许多非线性问题的研究最终可归结为非线性发展方程来描述,因而如何得到它们的精确解对研究相关的非线性问题非常重要。本文中,将系统介绍几种非线性发展方程的求解方法,如齐次平衡法、双曲函数法、函数变换法以及Jacobi椭圆函数展开法等。 第一章介绍孤立子理论发展概况,详细推导了在非线性方程理论研究中具有重要意义的非线性波动KdV方程,并且研究了孤立子相互作用问题,分析表明孤立子碰撞以后形状保持稳定。 第二章运用行波法,精确求解了KdV方程和Sine-Gordon方程。获得两种重要的行波解——周期解和孤立波解,并且定性分析了解的几何性质,且将孤立波和同(异)宿轨道联系起来。 第三章介绍齐次平衡法,采用此法找到了KdV方程的六种精确解:精确平衡解、孤立波解、有理解、多项式与指数函数混合解、多项式与三角函数混合解,作为应用给出了二维色散长波方程组的定态解、孤立波解、非孤立波解等。 第四章介绍双曲函数法,其基本思想是将非线性发展方程的行波解表示成双曲正切函数形式解,并对近年来发展起来的双曲函数展开法加以改进,采用新的变换函数,得到了KdV方程、非线性Klein-Gordon方程和组合KdV方程的一些新的孤立波解。 第五章首先采用2001年提出的Jacobi椭圆函数展开法和本文由此扩展而来的双椭圆函数展开法,求解了一大类非线性发展方程,得到了一系列新的周期解。而且这些周期解在极限条件下可以退化为孤立波解,由此表明此类展开法是一种高效实用的方法。为了讨论了Jacobi椭圆函数展开法的适用性问题,我们引进“秩”的概念,指出只要非线性发展方程的各项的“秩”满足相同的奇偶性,就可以用这种展开法求解。其次,介绍在椭圆函数展开法基础上发展而来的,利用Lamé函数求解非线性发展方程多级近似解的方法,并且求解了非线性Schr(?)dinger方程,非线性BBM方程,Zakharov方程,KP方程,Boussinesq方程和立方非线性Schr(?)dinger方程等方程。最后,从Legendre椭圆积分和Jacobi

全文目录


摘要  6-8
英文摘要  8-11
前言  11-13
第一章 KdV方程和孤立子概述  13-25
  1.1 孤立子概念的产生  13-14
  1.2 孤立子的类型、特征及应用  14-17
  1.3 流体力学中的KdV方程  17-21
  1.4 孤立子的相互作用和它的渐近性质  21-25
第二章 行波解  25-31
  2.1 KdV方程的行波解  25-29
  2.2 正弦Gordon方程  29-31
第三章 齐次平衡法  31-42
  3.1 齐次平衡法  31-32
  3.2 方法及应用举例  32-42
第四章 双曲函数展开法  42-52
  4.1 双曲正切函数展开法  42-44
  4.2 扩展的双曲函数展开法  44-52
    4.2.1 扩展的双曲函数展开法的基本步骤  44-45
    4.2.2 非线性波方程的精确孤立波解  45-49
    4.2.3 扩展的双曲函数展开法的探讨与推广应用  49-52
第五章 Jacobi椭圆函数展开法  52-84
  5.1 Jacobi椭圆函数展开法  52-56
    5.1.1 Jacobi椭圆正弦函数展开  53-54
    5.1.2 Jacobi椭圆余弦函数展开  54-55
    5.1.3 第三类Jacobi椭圆函数展开  55-56
    5.1.4 Jacobi椭圆函数csζ展开  56
  5.2 扩展的双Jacobi椭圆函数展开法  56-64
  5.3 “秩”的概念以及其在非线性发展方程中的应用  64-67
  5.4 Lamé函数和非线性演化方程的扰动方法  67-75
    5.4.1 Lamé函数  67-68
    5.4.2 n=3，λ=4(1+m~2)的多级准确解  68-70
    5.4.3 n=2，λ=4(1+m~2)、λ=(1+4m~2)或λ=4+m~2的多级准确解  70-75
  5.5 修正Jacobi椭圆函数展开法  75-78
    5.5.1 方法介绍  75-76
    5.5.2 KdV方程的修正Jacobi椭圆函数准确周期解  76-78
    5.5.3 小结  78
  5.6 Jacobi椭圆函数与三角函数之间的转换法  78-84
    5.6.1 Legendre椭圆积分与Jacobi椭圆函数  78-79
    5.6.2 两个基本变换  79
    5.6.3 两个基本变换应用于非线性方程的求解  79-83
    5.6.4 小结  83-84
第六章 函数变换法  84-111
  6.1 截断展开法  84-92
    6.1.1 截断展开法  84-86
    6.1.2 新形式的截断展开法  86-88
    6.1.3 改进的截断展开法  88-92
  6.2 函数u(ζ)=e~(Aζ)v(η)+u_0(ζ)，η=e~(Bζ)+a_0变换法  92-97
  6.3 函数u(ζ)=2/pcosφ(ζ)+q变换法  97-102
    6.3.1 函数u(ζ)=2/pcosφ(ζ)+q变换法的主要思想和基本步骤  97-98
    6.3.2 具5次强非线性项的导数Schr(o|¨)dinger方程精确孤波解  98-102
  6.4 耦合Riccati方程解的函数展开法  102-111
    6.4.1 耦合Riccati方程解的函数展开法  102-103
    6.4.2 耦合Riccati方程解的函数展开法在非线性波方程中的应用  103-111
第七章 总结  111-113
参考文献  113-118
致谢  118-119
攻读硕士学位期间发表的论文  119

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 非线性代数方程和超越方程的数值解法
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