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几类非线性波方程行波解的动力学行为研究

作　者: 李春海
导　师: 黄文韬
学　校: 桂林电子科技大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性波方程积分因子分支理论相图行波解
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一.通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统在非线性情况下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻地描述系统的本质特征,推动相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展.随着非线性科学的发展,许多物理、化学和生命科学模型都可以转化为非线性方程,如非线性常微分方程、偏微分方程等.非线性方程的求解已经成为非线性科学领域的一个重要研究课题.本文主要利用积分因子方法和动力系统分支理论研究了几类非线性波方程的行波解及性质,并进一步研究了一类奇异扰动非线性波方程孤立波解的存在性.全文共有六章组成.第一章是绪论,对非线性波方程的发展历史、研究现状、研究意义进行了叙述.第二章是预备知识,主要介绍了与本文相关的一些基础理论和方法.在第三章,我们用积分因子方法研究了两类非线性波方程,广义Camassa-Holm方程和广义G-P程,求出了它们的孤立尖波,孤子类解和周期解.在第四章,我们利用动力系统分支理论研究了一类广义双sinh-Gordon方程和一类(N+1)维sine-cosine-Gordon方程,讨论了它们的相图及其分支,给出了明确的参数条件以及参数条件下的相图.并给出了行波解的精确参数表示.在第五章,我们应用几何奇异扰动定理研究了一类奇异非线性波方程,对奇异扰动mKdV方程孤立波解的存在性进行了证明.最后,就全文进行了总结,就研究中还没有彻底解决的问题进行了说明,并提出了有待进一步研究的问题.

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-7
第一章绪论  7-11
  1.1 研究背景  7-8
  1.2 研究现状和研究意义  8-9
  1.3 本文的主要工作  9-11
第二章预备知识  11-17
  2.1 孤立子的定义  11-12
  2.2 二维可积系统  12-14
    2.2.1 二维系统的平衡点  12-13
    2.2.2 二维可积系统  13-14
  2.3 动力系统分支理论  14-15
    2.3.1 基本思想  14
    2.3.2 动力系统方法  14-15
  2.4 椭圆函数  15-17
第三章积分因子法求解非线性波方程的行波解  17-25
  3.1 引言  17
  3.2 一类广义Camassa-Holm方程的孤立尖波，孤子类解和周期解  17-21
    3.2.1 求解方程（3-2-3）的精确孤子类解  19-20
    3.2.2 求解方程（3-2-3）的精确周期解  20
    3.2.3 求解方程（3-2-3）的精确孤立尖波解  20-21
  3.3 一类广义G-P方程的孤立尖波，孤子类解和周期解  21-24
    3.3.1 求解方程（3-3-34）的精确孤子类解  22-23
    3.3.2 求解方程（3-3-34）的精确周期解  23-24
    3.3.3 求解方程（3-3-34）的精确孤立尖波解  24
  3.4 本章小结  24-25
第四章动力系统分支理论求解非线性波方程的行波解  25-43
  4.1 引言  25
  4.2 一类广义双sinh-Gordon方程的精确行波解  25-32
    4.2.1 系统（4-2-6）的等价系统的相图  26-29
    4.2.2 系统（4-2-6）的精确行波解  29-32
  4.3 一类（N+1）维sine-cosine-Gordon方程的行波解分析  32-42
    4.3.1 系统（4-3-37）的相图分支  33-34
    4.3.2 系统（4-3-34）的孤立波解，扭结波解和反扭结波解  34-36
    4.3.3 系统（4-3-34）的精确周期行波解  36-42
  4.4 本章小结  42-43
第五章奇异扰动m KdV方程孤立波解的存在性  43-48
  5.1 引言  43
  5.2 几何奇异扰动定理  43-44
  5.3 孤立波的存在性  44-47
  5.4 本章小结  47-48
总结与展望  48-49
参考文献  49-54
致谢  54-55
作者在攻读硕士期间的主要研究成果  55

几类非线性波方程行波解的动力学行为研究

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