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具非线性源的非散度型扩散方程

作　者: 金春花
导　师: 尹景学
学　校: 吉林大学
专　业: 应用数学
关键词: 波前解扩散方程正周期解临界情形博士学位论文正稳态解整体存在性行波解非平凡渗流方程
分类号: O175.23
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

考虑非散度型扩散方程其中m∈R，p>1，q≥0，f(u，x，t)为适当光滑的有界函数．它来源于自然界中许多扩散现象，如无力磁场的阻性扩散，生物种群的生存与竞争，传染病的蔓延等．本文的目的在于研究这类方程解的定性问题．全文共分三章，分别讨论方程的周期解、渐近性及行波解问题．在第一章，我们研究该类方程具齐次Dirichlet边值的时间周期解问题．对于在严格意义下的非散度型方程(m≥1)，我们发现指数(p，q)的取值区域内存在一条奇异曲线，当(p，q)位于奇异曲线上时，非平凡周期解存在与否依赖于源系数的结构，而当(p，q)不在奇异曲线上时，周期解具有与源系数结构无关的确定的存在性与非存在性．事实上，当(p，q)位于奇异曲线下方时，正周期解一定存在，而当(p，q)位于奇异曲线上方时，还存在着一条临界曲线．当(p，q)位于奇异曲线和临界曲线之间时，可以得到具紧支集非平凡周期解的存在性；而当(p，q)位于临界曲线上或位于其上方时，至少对星形区域，周期解一定不存在．上述大部分结果都可以推广到可化为散度形式的方程(m<1)．我们注意到，对散度型方程而言，即便是对经典的含源Newton渗流方程和非Newton渗流方程，甚至于含源热方程，当(p，q)取某些值的时候，非平凡周期解的存在性长期以来一直未能得到解决．在本文的第二章，我们致力于方程第一初边值问题解渐近性的研究．首先讨论可以精确刻画解整体存在和爆破性质的Fujita指标理论；根据临界指标的划分，我们研究正稳态解的存在性，稳态解(包含正稳态解及零解)的渐近稳定性．确切地说，对次临界情形，我们得到了正稳态解的稳定性；对临界情形得到了零解及正稳态解的稳定性与不稳定性结果；对超临界情形我们也得到了零解的稳定性结果，且此时任何正稳态解都是不稳定的．在本章的最后，我们研究了周期解的渐近稳定性及吸引性，特别是次临界情形周期吸引子的存在性．作为本文最后一章，我们考虑这类方程的行波解问题，着重探讨这类方程光滑波前解的存在性、唯一性以及正则性理论．我们发现，指数m，q都分别存在着阈值m_c，q_c．对于非负源情形，具连续基数的光滑波前解族可能存在，但这族波前解不存在最小波速的充要条件是m≥m_c；而当m<m_c时存在光滑波前解的充要条件是q≥q_c．对于变号源情形，光滑的波前解至多有一个，m≥m_c时只可能有递减的波前解，而m<m_c时递增和递减的波前解都可能存在；我们给出了光滑波前解存在的充要条件．无论是非负源还是变号源，阈值m_c都是方程是否具严格意义非散度结构的临界值，这揭示了非散度型方程区别于散度型方程的特殊性．在正则性的讨论中，我们给出了sharp波存在的充要条件，该条件表明，sharp波的存在与波速是否处于临界状态无关，而仅与指标m，p，q的取值有关．

全文目录

致谢  5-6
提要  6-10
绪论  10-26
第一章周期解  26-69
  §1 引言  26-27
  §2 非奇异情形Ⅰ(q  27-43
  §3 非奇异情形Ⅱ(q>m+p-1)  43-64
    3.1 几个预备引理  43-49
    3.2 次临界情形非平凡周期解的存在性  49-61
    3.3 临界和超临界情形非平凡周期解的非存在性  61-64
  §4 奇异情形(q=m+p-1)  64-67
  §5 化为散度形式的情形(m  67-69
第二章渐近性  69-112
  §1 引言  69-70
  §2 Fujita临界指标  70-85
    2.1 次临界情形解的整体存在性  70-79
    2.2 超临界情形解的爆破与整体存在性  79-83
    2.3 临界情形解的爆破与整体存在性  83-85
  §3 稳态解及其稳定性  85-105
    3.1 稳态解的存在唯一性  85-90
    3.2 次临界情形解的渐近稳定性  90-98
    3.3 次临界情形解的渐近稳定性  98-101
    3.4 超临界情形解的渐近稳定性  101-105
  §4 周期解的稳定性  105-112
    4.1 次临界情形极大极小周期解的存在性及吸引性  106-110
    4.2 临界情形解的渐近稳定性  110
    4.3 超临界情形零解的渐近稳定性  110-112
第三章行波解  112-158
  §1 引言  112-114
  §2 非负源情形  114-127
    2.1 不具最小波速的光滑波前解族  114-118
    2.2 具最小波速的光滑波前解族  118-124
    2.3 光滑波前解的非存在性  124-127
  §3 变号源情形  127-146
    3.1 临界与超临界情形的光滑波前解  127-136
    3.2 次临界情形的光滑波前解  136-146
  §4 光滑波前解的正则性  146-158
    4.1 变号源情形  146-154
    4.2 非负源情形  154-158
参考文献  158-166
附录攻博期间发表的学术论文及其它成果  166-168
中文摘要  168-176
英文摘要  176-184

具非线性源的非散度型扩散方程

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