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这篇论文主要研究如下Sturm-Liouville边值问题解的存在性与多解性:其中f∈C1（[0,1]×R1,R1）.本文由三章构成,第一章为引言;在第二章,我们介绍了一些预备知识,以及证明我们的主要结果用到的一些引理、定理;在第三章,我们给f加上一些条件,得到了问题（1.1）至少有一个非平凡解,有限多个解以及无限多个解的存在性定理.目前,国内外学者对于微分方程Dirichlet边值问题、周期边值问题、Neumann边值问题解的存在性、多解性、正解和变号解等问题获得了大量好的结果,见[1,4,5,9,12,19,21,38,52].微分方程Sturm-Liouville边值问题解的存在性与多解性,越来越受到国内外人们的关注,许多作者已利用拓扑度理论、不动点指数理论等方法对二阶Sturm-Liouville边值问题进行了广泛研究,获得了正解的存在性和多解性.但是用临界点理论来研究Sturm-Liouville边值问题的还比较少,用Morse理论研究的更少.例如对于该方法,已有不少作者作了应用,但主要以椭圆型边值问题为例,如[2,3,11].在[2,3]中,作者用变分方法把方程的解转化为泛函的临界点,在[11]中,他们都得到了比用传统的拓扑度理论如[4,5,6,7,8,9]更好的解的存在性结果.首先,我们用文章[12]中的方法将问题（1.1）转化为积分方程.然后运用Morse理论,在跨特征值的情形下,我们得到了问题（1.1）非平凡解的存在性.这用普通的不动点指数理论和临界点理论是很难得到的.同时,我们给f加上一些条件,运用Morse理论,获得了问题（1.1）多解的存在性定理.我们的方法不同于以上文章.下面,我们介绍本文主要结果.定理3.1.假设μ（?）{μk}1∞,且条件（H1）lim|x|→∞ f（t, x）/x =μ关于t∈[0,1]是一致的;（H2）f（t,0）=0 and f’x（t,0）=η,t∈[0,1];（H3）存在μn∈{μk}1∞,使得或者η＜μN＜μ或者μ＜μn＜η成立.则问题（1.1）至少有一个非平凡解.定理3.2.假设条件（H4）存在n∈N,使得（H5）存在i∈N,使得其中f∞（t）=lim|x|→∞f’x（t,x）关于t∈[0,1]是一致的.若|n-i|≥2m,则问题（1.1）至少有两个非平凡解.定理3.3.假设f满足条件（H4）和条件（H6）存在a,b∈R1且a＜μ1/2,使得则问题（1.1）至少有三个解.定理3.4.假设;（H7）存在v＞2, M＞0,使得0＜vF（t,u）≤uf（t,u）,|u|≥M,t∈[0,1].（H8）f（t,u）关于u是奇的,即f（t,-u）=-f（t,u）,（t,u）∈[0,1]×R1.则问题（1.1）有无穷多对解.定理3.5.假设f满足条件（H4）和（H7）.则问题（1.1）至少有一个非平凡解.
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