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Gorenstein导出范畴及相关研究

作　者: 高楠
导　师: 章璞
学　校: 上海交通大学
专　业: 基础数学
关键词: Gorenstein投射对象 Gorenstein导出范畴 Gorenstein奇点范畴紧生成的三角范畴上三角Artin代数 ξ-tilting类强ξ-Gorenstein投射对象 Cohen-Macaulay有限Artin代数相对转置
分类号: O154
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

过去三十五年,三角范畴在理论和应用上的重要性得以重新认识;过去四十年,代数表示论系统地发展出构造结构和表示的方法,并与其它分支建立了广泛联系;自1965年,相对同调代数,尤其是Gorenstein同调代数,积累了大量文献。这是一篇利用三角范畴理论和代数表示论方法研究Gorenstein同调代数的博士学位论文。本文主要结果如下。一.引进并研究Gorenstein导出范畴和Gorenstein奇点范畴。这是Goren-stein同调代数的自然发展。1.给出了Gorenstein导出范畴和导出范畴之间的关系;2.证明了Gorenstein投射模的有界同伦范畴是Gorenstein导出范畴的三角子范畴;证明了Gorenstein环和域上的有限维代数的有界Gorenstein导出范畴三角等价于Gorenstein投射模的只有有限个上同调群的上有界复形的同伦范畴;3.将Gorenstein导出函子解释成有界Gorenstein导出范畴上的Hom函子;4.证明了环是Gorenstein环当且仅当它的Gorenstein奇点范畴是零;一般地,若环不是Gorenstein环,我们将一个Frobenius范畴的稳定范畴嵌入到它的Gorenstein奇点范畴中,从而度量它离Gorenstein性质有多远。上述2和3中工作是将导出范畴中的结论发展到Gorenstein导出范畴;而1和4中工作是全新的。二.利用代数表示论中上三角代数,特别是单点扩张的技巧,具体构造了Gorenstein投射模:包括描述了强完备Λ-投射分解的形式;特别地,单点扩张情形下强完备投射分解的具体刻画。这种刻画确定了单点扩张前后强Gorenstein投射模之间的关系:因Gorenstein投射模是强Gorenstein投射模的直和项,从而得到Gorenstein投射模的归纳构造和丰富例子。三.注意到,Gorenstein性已被推广到带有三角真类ξ的三角范畴。这篇博士学位论文第三部分在这方面做出若干新结果:利用函子ξxtGP(ξ)(-,-),GP(ξ)-分解和相对于GP(ξ)的Schanuel类,给出对象的ξ-Gorenstein投射维数的三个等价定义;引入ξ-tilting类的概念,给出辨别ξ-Gorenstein三角范畴的一个充要条件;引进强ξ-Gorenstein对象的概念;证明了Δ-Gorenstein投射对象必是某个强Δ-Gorenstein投射对象的直和项。从而刻画了Δ-Gorenstein投射对象。四.经典Auslander-Reiten转置(transpose)是用投射模作出的.对于Cohen-Macaulay有限(即不可分解Gorenstein投射模的同构类的个数有限)的Artin代数的模范畴,我们用Gorenstein投射模作出类似的转置,称之为相对转置,从而将代数表示论中Auslander-Reiten序列和Auslander-Reiten公式作了相应的推广。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-10
前言  10-16
第一章基础知识  16-28
  1.1 Gorenstein 同调代数  16-18
    1.1.1 Gorenstein 同调维数  16-17
    1.1.2 Gorenstein 扩张函子  17-18
  1.2 三角范畴  18-28
    1.2.1 三角范畴和三角函子  18-21
    1.2.2 Verdier 局部化  21-22
    1.2.3 同伦范畴和导出范畴  22-23
    1.2.4 正合范畴和Frobenius 范畴  23-25
    1.2.5 紧生成的三角范畴  25-28
第二章 Gorenstein 导出范畴和Gorenstein 奇点范畴  28-60
  2.1 符号和基础知识  28-31
  2.2 Gorenstein 导出范畴  31-40
  2.3 Gorenstein 环和有限维代数的Gorenstein 导出范畴  40-50
  2.4 Gorenstein 奇点范畴：Gorenstein 性质的度量  50-56
  2.5 Gorenstein 投射模的稳定范畴  56-57
  2.6 有界复形的Gorenstein 投射维数  57-60
第三章强Gorenstein 和Gorenstein 投射模的构造  60-82
  3.1 一般情形  60-67
  3.2 单点扩张  67-74
  3.3 特殊情形  74-82
第四章 ξ-Gorenstein 三角范畴和强ξ-Gorenstein 对象  82-94
  4.1 三角范畴中的ξ-Gorenstein 对象  82-87
  4.2 Schanuel 类和ξ-Gorenstein 三角范畴  87-92
  4.3 强ξ-Gorenstein 对象  92-94
第五章 Cohen-Macaulay有限的Artin代数的模范畴的相对Auslander-Reiten 理论  94-104
  5.1 相对转置  94-99
  5.2 Auslasnder-Reiten 理论  99-104
参考文献  104-112
攻博期间发表和已完成的论文情况  112-113
致谢  113

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