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奇异积分算子及Euler方程中若干问题的研究

作　者: 朱相荣
导　师: 王斯雷；陈杰诚
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 测度集极大算子整体光滑解初始速度极大函数引理轴对称有界性不可压缩整体弱解
分类号: O177
类　型: 博士论文
年　份: 2006年
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内容摘要

第一章中我们考虑R~n上强极大算子的可积性。对R~n上局部可积的函数f，它的H-L极大函数定义为其中Q表示方体。而它的强极大函数如下定义其中P表示边平行于坐标轴的矩形。此外，定义多重极大算子其中M_j表示第j个坐标轴方向的一维H-L极大算子。当f有紧支集时，关于它的极大函数的可积性Stein在[66]有个著名的结果：对任意有限测度集E，M(f)∈L~1(E)当且仅当f∈Lln~+L(R~n)。另外Jessen-Marcinkiewicz-Zygmund在[38]中证明了：对任意有限测度集E，M~*(f)∈L~1(E)当且仅当f∈L(ln+L)~n(R~n)。这个结果也可参看Fava-Gatto-Gutiérez[31]。因为M_S(f)≤M~*(f)，所以当f∈L(ln+L)~n(R~n)时对任意有限测度集E，M_S(f)∈L~1(E)。在文献[31]中他们猜测：如果对任意有限测度集E，M_S(f)∈L~1(E)，那么f∈L(ln~+L)~n(R~n)。在[1]和[35]中他们分别证明了存在许多函数f∈Lln~+L(R~2)使得对任意有限测度集E，M_S(f)∈L~1(E)。在第一章中我们用更简单的方法证明了他们的结果，更主要的是这里的方法适用于所有维数，而[1]和[35]很难应用到高维欧氏空间。有趣的是高维空间对函数的要求和两维是一样的，我们主要证明了以下定理。定理1．1．1 对任意紧支集函数f∈Lln~+L(R~n)，必存在函数g∈Lln~+L(R~n)使得 (a)g和f有相同的分布函数； (b)对任意有限测度集E，M_S(g)∈L~1(E)。

全文目录

中文摘要  4-14
英文摘要  14-24
第一章 R~n上强极大算子的可积性  24-28
  1.1 引言与基础  24-26
  1.2 定理1.1.1的证明  26-28
第二章一类H~1粗糙核极大奇异积分算子的弱(1,1)有界性  28-46
  2.1 引言与基础  28-30
  2.2 定理2.1.2的证明  30-35
  2.3 定理2.1.3的证明  35-37
  2.4 附录  37-46
第三章一类沿变曲线的Hilbert变换的L~2有界性  46-58
  3.1 引言与基础  46-51
  3.2 一个反例  51-52
  3.3 定理3.1.4的证明  52-58
第四章非倍测度下极大奇异积分算子  58-72
  4.1 引言与基础  58-60
  4.2 L~∞上的极大奇异积分算子  60-65
  4.3 RBMO上的极大奇异积分算子  65-72
第五章两维不可压缩Euler方程的全局解  72-92
  5.1 引言与基础  72-75
  5.2 初始速度在临界Becov空间B_(∞1)~1中的整体光滑解  75-82
  5.3 初始涡量在空间BMO中的整体弱解  82-88
  5.4 涡量极大函数  88-92
第六章三维不可压缩Euler方程的全局轴对称解  92-102
  6.1 引言与基础  92-96
  6.2 全局轴对称光滑解  96-97
  6.3 全局轴对称弱解  97-102
参考文献  102-109
博士期间论文清单  109-110
致谢  110

奇异积分算子及Euler方程中若干问题的研究

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