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实乘理论

作　者: 杜彬
导　师: 秦厚荣
学　校: 南京大学
专　业: 基础数学
关键词: 模形式实二次域形式幂级数类域论代数数域模空间环的谱有理数域 finitely 素数仿射坐标 forms formal denote 环和等价类 endomorphism 拓扑空间 noncommutative conjecture
分类号: O156.21
类　型: 博士论文
年　份: 2011年
下　载: 13次
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内容摘要

希尔伯特第12问题是：对任意给定的代数数域,如何具体构造出它的Abel扩张的生成元?该问题的第一个未解决情形是关于实二次域的。我们主要借鉴一些前人的工作,引入形式幂级数来解决这一问题。我们将重点放在所谓“实乘”理论的模空间方面。本文的组织结构如下：第一章,我们着重介绍类域论,以及具体类域论已经解决的两个情形,即有理数域和虚二次域,把他们归纳成统一的至少看上去可供推广的形式。当我们依照已经解决的情形来考虑实二次域,首先碰到的关键性困难是由此构造的拓扑空间甚至都不是Hausdorff的。Yuri Manin引入非交换几何来解决这一问题。我们对这一方向的发展及重要进展作大致的总结,它对本文的思想有着较深的影响。第二章,我们用形式幂级数定义带实乘的实二次环面的形式模空间,以及其上的仿射坐标环,形式模形式。当他们确实定义了形式模空间上的函数时,我们称它们为严格仿射坐标环和严格形式模形式。同时,我们给出形式模形式和严格形式模形式的一些例子,包括形式Eisenstein级数。并且用逼近的方法给出一类由形式Eisenstein级数构造得严格形式模形式—-相对Eisenstein级数的具体的计算方法。第三章,我们给出形式Eisenstein级数的q—级数展开式的一个标准表达式。不幸的是,关于这样的q—展开式没有一般的公式,本文的主要结果是用相对Eisenstein级数,对每个实二次域的PSL2(Z)等价类给出一系列新的不变量。第四章,我们回顾Darmon在用p-adic方法考虑实二次域类域构造的工作,把它们作为本章提出的一个猜想的重要证据。我们的猜想是：形式模空间可以自然地看作某个形式幂级数环的谱或者形式谱。最后一章,我们给出一个独立的结果,我们证明了一个关于模8余1的素数的表达式,并将它用于K2Q的计算。这个表达式的证明实际上可以看作是几何数论中重要的Minkowski定理的在某个特殊情况下的补充。

全文目录

Acknowledgemetns  5-8
摘要  8-9
Abstract  9-11
Preface  11-12
Chapter 1 Introduction  12-23
  1.1 Explicit class field theory  13-18
  1.2 Our approach to Real Multiplication  18
  1.3 Noncommutative geometry, Manin's approach  18-23
Chapter 2 Formal moduli space of real quadratic tori with Real Mul-tiplication  23-29
  2.1 Real quadratic tori with Real Multiplication  23-25
  2.2 formal moduli space of real quadratic tori with RM and formal modular forms  25-29
Chapter 3 Formal Eisenstein series their applications to real multi-plication  29-33
  3.1 The q-expansion of formal Eisenstein series  29-31
  3.2 An application to real multiplication  31-33
Chapter 4 A conjecture on the geometric structure of the formal moduli space Q  33-38
  4.1 Correspondence between real quadratic formal moduli space Q and set of prime closed geodesies on upper half plane  33-34
  4.2 An evidence of Real multiplication  34-36
  4.3 Prime geodesic theorem and our conjecture  36-38
Chapter 5 A independent result  38-46
  5.1 Introduction  38
  5.2 An expression for primes p≡1(mod 8)  38-46
REFERENCES  46-49

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