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球面中子流形的几何与拓扑研究

作　者: 李蕊
导　师: 许洪伟
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 子流形平行平均曲率 L~q-pinching条件几何刚性定理拓扑球面定理
分类号: O189.31
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

整体微分几何中一个重要的研究课题是L^q-pinching（q≥n／2）问题，它主要研究流形在L^q-pinching条件下的几何结构与拓扑结构。我们这里主要讨论了球中子流形的Lⁿ-pinching问题以及更一般的L^q-pinching（q≥n／2）问题，和在这些条件下的拓扑球面定理。主要研究工具是子流形的Sobolev不等式、Morse理论和积分估计。首先我们得到了球面中子流形几何结构的下述定理：定理A设Mⁿ（n≥2）是S^n+p（1）中定向的紧致具有平行平均曲率子流形。记M的第二基本形式模长平方和平均曲率分别为S，H。如果‖S-nH²‖_n＜G₁（n），其中C₁（n）是仅依赖于n的正常数，则S=nH²，即M为全脐子流形，从而Mⁿ等距于球M=Sⁿ(1／（1+H²）^1／2)。定理B设Mⁿ（n≥2）是S^n+p（1）中完备的具有平行平均曲率子流形。记M的第二基本形式模长平方和平均曲率分别为S，H。如果‖S-nH²‖_n＜C₂（n），其中C₂（n）是仅依赖于n的正常数，则S=nH²，即M为全脐子流形，从而Mⁿ等距于球M=Sⁿ(1／（1+H²）^1／2)。更一般的，我们还有：定理C设Mⁿ（n≥3）是S^n+p（1）中定向的紧致具有平行平均曲率子流形。记M的第二基本形式模长平方和平均曲率分别为S，H。如果‖S-nH²‖_q＜C（n，q，H，V），其中q≥n／2，C（n，q，H，V）是与n，q，H，V有关的正常数，则S=nH²，即M为全脐子流形，从而Mⁿ等距于球M=Sⁿ(1／（1+H²）^1／2)。特别的，当q=n／2时，文章[15]中的结论就是上述定理3的推论。对于球面中子流形的拓扑结构，我们得到了以下结果：定理D设Mⁿ是闭的连通的n维黎曼流形，φ：M→S^n+p（1）是等距浸入。则存在一个只和n，p有关的正常数D（n，p），使得‖S-nH²‖_q^n／2≥D（n，p）V^n-2q／（2q） sum from n=i=1 to n-1β_i。其中β_i是第i个Betti数，q＞n／2，D（n，p）=pn^n／2（n-1）^{（2-n）／2}ω_n+p-1ω_p-1^-1，V是M的体积，ω_n为Rⁿ中单位球的体积。特别的，如果‖S-nH²‖_q^n／2＜D（n，p）V^{（n-2q）／（2q）}，则M同胚于单位球Sⁿ（1）。

全文目录

摘要  2-4
Abstract  4-6
目录  6-7
§1 绪言  7-10
§2 记号和基本公式  10-12
§3 几何不等式  12-15
§4 主要定理的证明  15-26
结论  26-27
参考文献  27-29
致谢  29

球面中子流形的几何与拓扑研究

内容摘要

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