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J.Simon,H.B.Lawson,S.S.Chern,M.do.Carmo和S.Kobayashi在1968年研究单位球面中紧致极小子流形Mn的几何刚性问题,他们证明Sn+p（1）中满足S≤n/（2-1/p）的紧致极小子流形必为全测地子流形,S4（1）中Veronese曲面,Sn+1（1）中Clifford超曲面之一。 文献[1],[6],[8],[12]等进一步研究了上述著名结果的改进和推广,取得了一系列重要结果。 最近,J.R.Gu和H.W.Xu研究了pinched黎曼流形中完备子流形的几何刚性问题,得到以下结果: 设Mn是n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n维完备的平行平均曲率子流形。设KN是N的截曲率,H和S分别是M的平均曲率和第二基本形式模长平方,满足c:=infKN≤0,d:=supKN≥0,且c+H2>0,则存在常数τ1（n,p,H）（≤0）,τ2（n,p,H）（≥0）,其中τ12（n,p,H）+τ22（n,p,H）≠0,使得当KN∈[τ1（n,p,H）,τ2（n,p,H）]且 nH2+A1（n,p）（d-c）+A2（n,p）[(n（n-1）-1H3]1/2（d-c）1/4≤S ≤C0（n,p,H）-B2（n,p）（d-c）-B2（n,p）[n（n-1）-1H3]1/2（d-c）1/4,则Nn+P整体等距于欧氏空间Rn+p,且M为全脐球面Sn（1/H）,S4（1/H）中的Veronese曲面,Rn+1中广义圆柱面Sn-1（（n-1）/nH）×R1之一,其中常数 若n≥3或n=2且p≤2, 若n=2且p≥3, τ1（n,p,H）,τ2（n,p,H）,A1（n,p）,A2（n,p）,B1（n,p）,B2（n,p）为具体给定的正常数。 本文在H.W.Xu和F.Wang关于正pinched黎曼流形中平行平均曲率子流形的整体pinching问题研究的基础上证明了下述: 主要定理.设Mn（n≥3）是n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n维闭的可定向平行平均曲率子流形。设KN是Nn+p的截曲率,且满足δ1≤KN≤δ2（δ1δ2≤0）,复合等距浸入Mn→Nn+p→Rl的相对平均曲率模长（?）满足（?）≤H0。 若 ‖S-nH2‖n/2≤C（n,p,δ1,δ2,H,H0）, ‖S-nH2‖n/（n-2）≥（δ2-δ1）α（n,p）vol（M）,
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