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负pinched流形中平行平均曲率子流形的刚性定理

作　者: 冷雁
导　师: 刘克峰；许洪伟
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 平行平均曲率刚性定理紧致子流形紧致极小子流形完备子流形单位球面硕士学位论文单连通浙江大学可定向
分类号: O189.33
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
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内容摘要

J．Simons在1968年证明了以下著名的刚性定理：设Mⁿ为n+p维单位球面S^n+p中的n维紧致极小子流形。若S≤n／（2-p-1），则S≡0，即为全测地大球面，或S≡n／（2-p-1）。 Chern-do Camo-Kobayashi在1970年证明下面定理：单位球面S^n+p中满足S≡n／（2-p-1）的n维紧致极小子流形只有下面两种： 1．S⁴（1）中Veronese曲面，这时n=p=2， 2．Sⁿ⁺¹（1）中的Clifford极小超曲面。 H．B．Lawson也独立得到了关于极小超曲面的类似结果。 1998年Shiohama-Xu证明了完备子流形的广义刚性定理：设Mⁿ是n+p维完备单连通黎曼流形N^n+p中n维完备可定向的平行平均曲率子流形。设H和S分别为Mⁿ的平均曲率和第二基本形式模长的平方，H≥0，则存在一个仅与n，p有关的正常数τ（n，p）∈（0，1），使得当τ（n，p）≤K_N≤1，且 nH²+A₁（n，p）（1-c）+A₂（n，p）[（H²+1）H]^1／2（1-c）^1／4≤S≤C（n，p，H）-B₁（n，p）（1-c）-B₂（n，p）[（H²+1）H]^1／2（1-c）^1／4，其中c=infK_N，N^n+p必整体等距于S^n+p（1）。更进一步， 1．如果supMS＜α（n，H），那么Mⁿ为n维球面Sⁿ(1／（H²+1）^1／2或S⁴(1／（H²+1）^1／2中Veronese曲面。 2．如果Mⁿ是紧致黎曼流形，那么Mⁿ为下述情形之一：（1）Sⁿ(（1+H²）^1／2)，（2）Sⁿ⁺¹（1）中的等参超曲面S^n-1(1／（1+λ²）^1／2)×S¹(λ／（1+λ²）^1／2)，（3）Sⁿ⁺¹（1）中的Clifford极小超曲面S^k(（k／n）^1／2)×S^n-k（（n-k）／n）^1／2)，k=1，…，n-1。（4）S³（r）中平均曲率为常数H₀的Clifford环面S¹（r₁）×S¹（r₂），其中r₁，r₂=[2（1+H²）±2H₀（1+H²）^1／2]^-1／2，r=（1+H²-H₀²）^-1／2，0≤H₀≤H，（5）S⁴(1／（H²+1）^1／2中的Veronese曲面。这里 λ=1／2（n+1）[nH+n²H²+4（n-1）^1／2]

全文目录

中文摘要  3-5
英文摘要  5-7
§0 引言  7-10
§1 基本公式  10-13
§2 子流形的几何不等式  13-19
§3 外围流形的刚性  19-25
§4 完备子流形的几何结构  25-27
参考文献  27-28
致谢  28

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