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广义分支过程及其相应的Markov积分半群

作　者: 常小新
导　师: 李扬荣
学　校: 西南大学
专　业: 应用数学
关键词: 参数Markov链广义分支过程积分Q-半群压缩半群
分类号: O211.62
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

关于Markov过程理论的研究,历来有概率方法和分析方法。近年来,用分析的方法来研究Markov过程,数学家们已取得一系列成果。本文着力于使用分析的方法,以算子半群理论为工具,先系统的研究了广义分支矩阵Q及其转移函数F（t）的性质,尤其是广义分支矩阵Q在l_∞上的性质。进一步证明了广义分支矩阵Q的导出算子Ql_∞在l_∞空间上生成Q-积分半群和导出算子（?）在l₁空间上生成正压缩半群,并研究了相应的Q-积分半群和正压缩半群的一些性质。广义分支过程是一类重要的时间连续Markov链,状态空间E=Z₊={0,1,2,…},其q-矩阵Q=(q_ij;i,j∈E)定义为:为了系统的了解广义分支过程，本文在第二章给出了矩阵Q及其最小Q-函数F（t）的一些基本性质，定理2.1.1给出了矩阵Q的次随机单调性、正则性及零流出，而定理2.1.2则给出了最小Q-函数F（t）唯一且忠实性，对偶性。结果如下：定理2.1.1如果广义分支q-矩阵Q满足下列条件之一这里q是方程B（s）=0的一个根,且0<q<1,ε∈（q,1）.那么（1）广义分支q-矩阵Q是次随机单调的;（2）广义分支q-矩阵Q是正则的;（3）广义分支q-矩阵Q是零流出的;（4）广义分支q-矩阵Q是非对偶的。广义分支矩阵的最小Q-函数F（t）具有如下性质:定理2.1.2如果广义分支q-矩阵Q满足下列条件之一这里q是方程B（s）=0的一个根,且0<q<1,ε∈（q.1）.设广义分支q-矩阵Q的最小Q-函数为F（t）。那么（1） F（t）是唯一且忠实的;（2） F（t）是非随机单调的;（3） F（t）是对偶的。在第三章中,我们分别给出了广义分支矩阵Q的导出算子Q_{l_∞},（?）与Q_c₀在l_∞,l₁,c₀空间上的一些性质,定理3.1.1给出了λI-Q_{l_∞}在l_∞单射与满射成立的条件及Q_{l_∞}的耗散性与闭性满足的条件,定理3.1.2得到了λI-（?）,在l₁,单射与满射成立的条件及（?）的耗散性满足的条件,定理3.1.3我们则验证了Q_c₀在c₀上耗散性与能闭性。结果如下:定理3.1.1当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,（1）对（?）λ>0,λI-Q_{l_∞}在l_∞空间上是单射;（2）对（?）λ>0,λI-Q_{l_∞}在l_∞空间上是满射;（3） Q_{l_∞}是耗散算子;（4） Q_{l_∞}是闭算子。定理3.1.2当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,（1） Q_0l₁在l₁空间上是稠定线性算子;（2） Q_0l₁,是耗散算子,Q_0l₁是能闭算子,（?）是耗散算子;（3）对（?）λ>0,λI-（?）在l₁空间上是单射;（4）对（?）λ>0,λI-（?）在l₁空间上是满射。定理3.1.3当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,（1）Q_c₀在c₀空间上是稠定线性算子;（2）Q_c₀是耗散算子;（3）Q_c₀在c₀空间上是能闭的线性算子;（4）对（?）λ>0,λI-Q_c₀在c₀空间上是单射。在[5]中Y.R.Li着重讨论了转移函数在l_∞上的性质,得到了一般的无界q-矩阵Q在l_∞上生成一·次正压缩积分半群。第四章中我们在Y.R.L[5]的基础上对广义分支矩阵Q做了一些限制,首先得到了Q导出的算子Q_{l_∞}在l_∞空间上生成一次正压缩积分半群的充要条件及生成积分Q-半群的条件。进一步的我们研究了Q导出的算子（?）在l₁空间上生成正压缩半群的条件。我们得到如下结果:定理4.1.1广义分支矩阵Q_{l_∞}在空间l_∞上生成一正的压缩积分半群T（t）=(T_ij;i,j∈Z⁺)的充要条件是定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立。此时(T’_ij（t）)=p（t）=(p_ij（t）).定理4.1.2当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,Q_{l_∞}在空间l_∞上生成的压缩积分半群T（t）是积分Q-半群。定理4.1.3当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,（?）在l₁空间上生成正压缩半群s（t）=(S_ij（t）;i,j∈E)且s（t）=F（t）。第五章中我们在第四章基础上,进一步得出了广义分支矩阵Q_{l_∞}0在空间l_∞上生成一正的压缩积分半群的次随机单调性和Feller性。结果如下。定理5.1.1广义分支矩阵生成的积分半群T（t）是次随机单调的.定理5.1.2如果T（t）是广义分支q-矩阵生成的正压缩积分半群,那么(T’_ij（t）)=P（t）是Feller的,T（t）是Feller的,即,对于j∈z⁺,t>O,有lim_i→∞T_ij（t）=0。

全文目录

中文摘要  3-6
英文摘要  6-12
第1章前言与文献综述  12-21
  1.1 前言  12
  1.2 文献综述  12-13
  1.3 预备知识  13-21
第2章广义分支过程的性质  21-24
  2.1 广义分支过程的性质  21-22
  2.2 证明  22-24
第3章广义分支矩阵导出的算子  24-29
  3.1 广义分支矩阵导出的算子的性质  24
  3.2 证明  24-29
第4章广义分支矩阵导出的算子与积分半群  29-32
  4.1 广义分支矩阵导出的算子生成的积分半群  29
  4.2 证明  29-32
第5章广义分支矩阵生成积分半群的性质  32-35
  5.1 广义分支矩阵生成半积分群的性质  32
  5.2 证明  32-35
第6章进一步的问题  35-36
参考文献  36-39
攻读硕士学位期间的工作  39-40
致谢  40

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