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广义解空间及其在积分C-半群上的应用

作　者: 曾静
导　师: 李扬荣
学　校: 西南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: Frechét空间抽象Cauchy问题广义k-次解空间 k-次积分抽象Cauchy问题 k-次积分半群 k-次积分C-半群
分类号: O152.7
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

Banach空间上抽象Cauchy问题及Κ-次积分抽象Cauchy问题有着非常重要的实际作用，许多物理问题都可模式化为它们；在理论上，有些微分方程或是积分方程等也可以用它们表示．而半群理论为我们研究它们提供了强有力的理论基础。许多作者在这些方面确实也取得了丰富的研究成果．本文把研究抽象Cauchy问题时通常讨论的Banach空间扩大到Frech?t空间，主要以广义解空间为工具，以半群理论为基础。研究推广了的抽象Cauchy问题即Κ-次积分抽象Cauchy问题与Κ-次积分C-半群的关系，并证明了Κ-次积分C-半群提供一简单的方法，可以用以逼近广义解空间及其拓扑并给出了这样的解空间的表示。给定闭算子A，对于Κ-次积分抽象Cauchy问题定义下的任意的初值我们并不能保证Κ-次积分抽象Cauchy问题的解是唯一的．而要使Κ-次积分抽象Cauchy问题有重要意义的一种情形就是其解是唯一的，因此我们自然会有问：什么样的初值能让Κ-次积分抽象Cauchy问题的解是唯一的?这些初值的集合又有什么样的刻画?对这些问题，我们将在本文第二部分作探讨。首先，借助算子A的广义Κ-次解空间，同时引入有界的单射且可与A交换的算子C，我们证明始终可以使满足一定条件的解是唯一的，而且我们找到了Κ-次积分抽象Cauchy问题的解是唯一的关于A的条件，有如下结果：定理2．1．1．假设A是闭的算子，Κ∈N∪{0}，则下列叙述是等价的： (a)A生成一非退化的Κ-次积分C-半群；(b)c一‘Ac二A，且对于所有的二〔Imc，ACPk十;有唯一解，即有ImCc几+;.此时，所求的k一次积分C一半群由下式给出:W(‘)二乓(t)C，其中凡(t)的意义见定义1.3，4. 其次，作为定理2. 2.1的直接的推论，我们证明了k一次积分C-半群中对C的选择提供了一个简单逼近广义解空间的办法，有如下结果: 定理2. 1.2.假设A是闭的算子，口通cA以天任Nu{0}，则下列叙述是等价的: (a)对于所有的二〔ImC， AC凡+1有唯一解; (b)【了仍切*凡+1; (c)A生成一非退化的k一次积分C-半群. 此时，所求的k一次积分C-半群由下式给出:W(亡)三乓(t)c，其中凡(t)的意义见定义1.3.4. 最后，如果A生成一今次积分C-半群，我们可以用它描述几+;及几(n任N).有趣的是，在下面的定理中我们对c的选择是无关的，即我们仍然得到同样的空间几，有如下结果: 定理2 .1.3.如果A生成一非退化的k-次积分C-半群{评(t)}仑。，则几+1一。二{x〔x:w(t)x“mC且:曰C一‘W(t)x是，次连续可微的}九=0，1，2，…，无，及半范族:二:。，。，，，z。+，一。一，，，}}佘e一‘w(亡)X:，，x。二+1一。， ‘七产，月一对所有a，b〔Q+，夕任N成立·特别地，对。二0，1，…，‘，有C(刀(Ak+卜”))c几. 推论2 .1.4.如果A生成一非退化的卜次积分半群{W(t)}仑。，则Zk十1二几+:=…二X且几+1一。二{x任X:W(t)二任C叹[0，co)，X)}几==0，1，2，…，k及半范族:}}xl}a，。访几+:一。== SUPt〔[。，b]佘W“，x}lj，二〔几+i一。，对所有的a，b任Q+，J任N成立.特别地，对。二o，1，…，无，有D(A勺c几+1一，

全文目录

摘要(中文)  3-24
摘要（英文）  24-6
一、引言和预备知识  6-11
  1.1 引言  6
  1.2 文献综述  6-7
  1.3 预备知识  7-11
二、积分C-半群的生成元的描述  11-21
  2.1 主要的结果  11-12
  2.2 主要结果的证明  12-21
三、分析与思考  21-22
参考文献(References)  22-27
结束语  27

广义解空间及其在积分C-半群上的应用

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