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算子半群的逼近及其在参数连续Markov链中的应用

作　者: 赵文强
导　师: 李扬荣
学　校: 西南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 参数连续Markov链转移函数 Feller-Reuter-Riley转移函数预解函数 q-函数 q-矩阵正的强连续压缩半群 Markov积分算子半群预解正算子增加积分算子半群
分类号: O152.7
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

关于Markov过程理论的研究，历来有概率方法和分析方法。近年来，数学家们以算子半群理论作为工具来研究Markov过程理论，并取得了丰富的成果。本文着力使用分析的方法，以算子半群理论为工具，研究参数连续Markov链中的转移函数、q-矩阵、以及转移函数与它的q-矩阵之间的连续依赖关系。我们知道转移函数是l₁空间上的正的强连续压缩半群，但是转移函数一般来说不是l_∞空间上的正的强连续压缩半群。因此Anderson[2]认为l_∞空间太大了，不可能在其上得到一些有用的结果。而近年来发展起来的积分算子半群在参数连续Markov链中是否能得到应用?Li Y．R．在[33，36]中做了讨论。证明了转移函数是l_∞空间上正的一次强压缩积分算子半群（我们称作Maxkov积分算子半群），得到了转移函数和l_∞空间上正的一次强压缩积分算子半群之间的对应关系。一个自然的问题是：是否存在l_∞空间上的一个充分大的子空间，使得转移函数是其上的正的强连续压缩半群?在Li Y．R．[33，36]的Markov积分算子半群理论的基础上，我们有如下结果：定理4．2．2设P（t）=（pij（t））是q-矩阵Q的一q-函数，G（t）代表相对应的Markov积分算子半群，其生成元用Ω表示。定义 C₁={x∈l_∞；P（t）x是l_∞空间上关于t≥0的连续函数}则转移函数P（t）=（pij（t））是C₁上的正的强连续压缩半群，且其生成元Ω₀是Ω在C₁中的部分，也就是 D（Ω₀）={x∈D（Ω）;Ω_x∈C¹}并且对每一个x∈D（Ω₀）有 Ω₀x=Ωx．定理4.2.3设p（亡）=（p，，（t））是全矩阵Q的一q一函数，G（t）代表相对应的Markov积分算子半群，其生成元用几表示.则下列陈述等价: （a）几在Ico空间里是稠定义的，也就是画两了=100; （b）q一矩阵Q是一致有界的，即s[lP‘。E吼<十、; （c）几是lco空间上的有界算子。定理4.2.4设侧t)二恤，（t）)是q-矩阵Q的一q一函数，G（约代表相对应的Malkov积分算子半群，其生成元用几表示。则下列陈述等价: （a）p。）二（p，，（艺））是Feller一Reuter--Riley转移函数; （b）几在c。空间里的部分几。生成。。空间上的正的强连续压缩半群。同时若A是Feller-Reuter一形Icy转移函数尸（t）=恤j（t）)在句空间上的生成元，则A二几。. 在Markov过程理论中，逼近问题一直是很重要的问题.通过离散骨架逼近具有可数无限状态空间的参数连续Markov链曾经被广泛的研究;william，David【lv]考虑了用状态空间有限的参数连续Markov链来逼近具有可数无限状态空间的参数连续Markov链;Anderson[2{证明了对Q一矩阵的最小转移函数，一定可以由一列具有一致有界Q一矩阵的转移函数来逼近.本文应用有界算子半群理论，从点态的角度研究转移函数的逼近，得到大量丰富的结果.在‘1空间上考虑时我们有如下结论: 定理5.1.2设Q=（、、，）是全矩阵，F。)=（几，（‘））是它的最小g一函数.设。Q=（。俄，）是。q一矩阵，。F（t）二（。人，（t））是它的最小。q一函数.如果满足如下条件: （a）入一Q在loo上是单射，也就是说对入>0，方程（久一Q）夕=0刀任100只有平凡解夕=。（b）当j尹乞时，，卿三钩，同时对任意的乞，J〔E，当。*co时，。卿。如那么当。。oo时，我们有。几（亡）仆五，（老）V乞，j任E，t全o定理5.1.3设Q二（卿）是q一矩阵，F（t）=（fij（t））是它的最小q一函数.假定（a）入一Q在l二上是单射，也就是说对人>0，方程（久一Q），=o，任100只有平凡解y=0; （b），。一矩阵。Q==（。钧）满足两个条件:（i）当饭，J<。时，取。。心=价s;（11）当‘全“或者jZ。时，。蜘在保证。Q=（。钧）是。伞矩阵的情况下可以任意取值. 最后，设。fij（t）是。Q二（n卿）的最小。q一函数.则当。。oo时，我们有。凡（t）。人，（t）V‘，j〔E，t全0· 关于转移函数（可以不是最小转移函数）P（约=帆了（t））与它对应的预解函数R（幻=（句（习）之间的连续依赖关系，我们有如下结论: 定理5.1.4设p（‘）==（p、，（t））和。p。）=（。尸、，（t））是转移函数，而R林）=（:*;（人））和。R(的=(。与（习）是它们相对应的预解函数.考虑如下陈述: （a）对任意的‘，j〔E和t全o，当n一co时，。尹、，（才）分p*j（t）; （b）对任意的乞，j EE和入>0，当二。co时，。场(习。八，(的· 我们有:如果（a）成立，那么（b）一定成立;反过来，当。八，(劝三八，(习且（b）成立时，则（a）才成立. 接下来，在c。空间上考虑我们的问题.众所周知，Felkr一Reute卜Rilcy转移函数是句空间上的正的强连续压缩半群12].但是对于一给定的q一矩阵Q来说，其Feller-Reuter一几ley转移函数不一定存在（如果存在一定唯一，而且是最小q-函数Iz]），因此在句上空间考虑转移函数与它的q一矩阵Q之间的连续依赖关系时，我们必需事先假定它的Feller一取uter-Riley转移函数存在.这里要解决的问题是:对于一列点态收敛到q一矩阵Q的。q一矩阵。Q（n〔N），如果。。一矩阵。Q的最小转移函数。F（‘）=（。扬（t））是Feller一Reuter一Riley转移函数，那么是否。F(约二（。二，（t））收敛到q一矩阵Q的最小转移函数F（t）=（凡（t）），并且F（t）=（人，（t））也是Feller一Reuter-Riley转移函

全文目录

摘要(中文)  3-7
第一章引言和预备知识  7-13
  1.1 引言  7
  1.2 文献综述  7-8
  1.3 预备知识  8-13
第二章关于有界算子半群的结果  13-18
  2.1 强连续算子半群的逼近  13-14
  2.2 预解正算子和增加积分算子半群  14-18
第三章 Q-矩阵的保守化特征  18-25
  3.1 Q-矩阵保守化及转移函数忠实化  18-19
  3.2 Q与ΔQ之间的等价性质  19-20
  3.3 证明  20-25
第四章 Markov积分算子半群的限制  25-31
  4.1 Markov积分算子半群  25
  4.2 主要结果  25-26
  4.3 证明  26-31
第五章转移函数对Q-矩阵的连续依赖性  31-43
  5.1 最小转移函数的逼近  31-32
  5.2 Feller-Reuter-Riley转移函数的逼近  32-33
  5.3 一般转移函数的逼近及一些充要条件  33-34
  5.4 证明  34-43
参考书目(References)  43-47
摘要(英文)  47-51
后记  51

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