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几个孤子方程(组)精确解的研究

作　者: 李四伟
导　师: 张金良
学　校: 河南科技大学
专　业: 应用数学
关键词: 齐次平衡原则 G′/G-展开法 离散型孤子方程 精确解
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要


离散型孤子方程(组)的精确求解是非线性科学的前沿研究课题和重要组成部分.离散型孤子方程(组)可以描述许多领域中发生的现象和动力过程,比如晶格中的粒子运动、电网中的电流等,并且在固体物理的离散化问题、队列问题、非线性偏微分方程的数值模拟方面也起着十分重要的作用.到目前为止,对于高维和高次离散型孤子方程(组)仍有许多问题有待研究.本文以符号计算为工具,依据齐次平衡原则,首先应用G′/G-展开法研究了耦合离散非线性Schr?dinger方程组和两种形式的相对论Toda格子方程组;然后又重点将G′/G-展开法的应用推广到求解高维和高次非线性微分-差分方程(组)的精确求解中,具体研究了(2+1)维Ablowitz-Ladik(AL-NLS)方程和五次离散非线性Schr?dinger方程.分别得到它们的双曲函数形式的孤波解、三角函数形式的周期波解和有理函数形式的行波解;而且这些精确解含有较多的任意参数,当参数取某些特殊的值时,所得结果就是有些已发表文章所得的结果,可见我们得到了更加丰富的精确解.这些精确解具有很重要的理论意义和实用价值.借助于这些结果,可以解释离散型孤子方程(组)所描述的分子晶体的激子运动、离散自陷光束在弱耦合非线性光波导中的传播、周期性势阱内的波色-爱因斯坦凝聚体的演化、生物分子链内的能量储存和传输等固体物理学、非线性光学、凝聚态物理、生物物理等领域中的诸多现象.在第一章中,首先综述了非线性微分-差分方程(组)的理论意义和实用价值,然后概述了求解非线性微分-差分方程(组)的发展历程和本文的主要内容等.在第二章中,介绍了用G′/G-展开法求解非线性发展方程的主要步骤,然后用G′/G-展开法求解了KdV方程的精确解,以此说明该方法的直接、简明、基础、有效等特点.在第三章中,首先用G′/G-展开法研究了耦合离散非线性Schr?dinger方程组和两种形式的相对论Toda格子方程组,然后又将G′/G-展开法的应用推广到求解高维和高次非线性微分-差分方程(组)的精确求解中,具体研究了(2+1)维Ablowitz-Ladik(AL-NLS)方程和五次离散非线性Schr?dinger方程;分别得到以上非线性微分-差分方程(组)的三种类型的精确解.在第四章中,对本文进行了总结和展望.

全文目录


摘要  2-4
ABSTRACT  4-8
第1章 绪论  8-14
  1.1 孤立子的产生和发展以及孤子理论研究的意义  8
  1.2 非线性微分-差分方程（组）的概述  8-9
  1.3 非线性微分-差分方程（组）精确求解的发展概况  9-13
    1.3.1 反散射方法  9
    1.3.2 Darboux 变换法和B(a|¨)cklund 变换法  9-10
    1.3.3 Hirota 双线性法  10
    1.3.4 Tanh 函数展开法  10
    1.3.5 齐次平衡法  10-11
    1.3.6 Jacobi 椭圆函数展开法和F-展开法  11-12
    1.3.7 G′/ G -展开法  12-13
  1.4 本文主要工作  13-14
第2章 G′/ G -展开法简介  14-18
  2.1 G′/ G -展开法  14-15
  2.2 用G′/ G -展开法求解KdV 方程的精确解  15-18
第3章 G ′ /G-展开法在几个非线性微分-差分方程(组)精确求解中的应用  18-36
  3.1 耦合离散非线性Schr(O|¨)dinger 方程组的精确求解  18-23
    3.1.1 背景介绍  18-19
    3.1.2 耦合离散非线性Schr(O|¨)dinger 方程组的精确解  19-23
  3.2 相对论Toda 格子方程组的精确求解  23-28
    3.2.1 背景介绍  23-24
    3.2.2 相对论Toda 格子方程组(3-14)的精确解  24-26
    3.2.3 相对论Toda 格子方程组(3-15)的精确解  26-28
  3.3 (2+1)维Ablowitz-Ladik(AL-NLS)方程的精确求解  28-31
    3.3.1 背景介绍  28
    3.3.2 (2+1)维 Ablowitz-Ladik(AL-NLS)方程的精确解  28-31
  3.4 五次离散非线性Schr(O|¨)dinger 方程的精确求解  31-36
    3.4.1 背景介绍  31-32
    3.4.2 五次离散非线性Schr(O|¨)dinger 方程的精确解  32-36
第4章 结论与展望  36-37
参考文献  37-41
致谢  41-42
攻读硕士学位期间的研究成果  42

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 非线性偏微分方程
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