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孤子方程求解与Backlund变换、Darboux变换的应用

作　者: 韩琳
导　师: 张玉峰
学　校: 辽宁师范大学
专　业: 应用数学
关键词: 孤立子精确解 Backlund变换 Darboux变换规范变换
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 102次
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内容摘要

本文主要研究了孤立子理论中若干重要的非线性发展方程的求解方法及其相关应用问题,提出和发展了一系列求解非线性方程的方法及其应用.本文由以下三章组成:第一章着重介绍了孤立子理论和非线性发展方程求解的若干方法的历史发展和现状.相应的,也提出了这些领域的国内外学者所取得的研究成果和贡献.第二章基于将非线性发展方程求解代数化、算法化、机械化的思想,运用吴方法和符号计算工具,提出和发展了两种求解非线性发展方程的有效算法:第一种是广义的辅助方程法,该方法假设非线性发展方程解的形式为有限对数的Laurent展式,其辅助方程为常系数的二阶常微分方程,结合齐次平衡法和微分方程的特征多项式,构造了混合KdV-MKdV方程及(2+1)-维KP方程的精确解,该方法具有普遍应用性;第二种是基于推广的Riccati方程,通过采用标准Riccati方程的Backlund变换的解作为基础解,假设非线性方程解的形式为多项式型,进一步来获得新的精确解,借助齐次平衡法和Maple计算软件,获得了(2+1)-维Toda格方程和离散mKdV方程的精确解.第三章主要研究Backlund变换和Darboux变换的应用.在前边详细的阐述过Backlund变换的含义的基础上,首先介绍B acklund变换的应用,借助零曲率方程,得到了一系列新的可积的孤子方程,如广义mKdV方程,Liouville方程, Sine-Gordan方程及Sinh-Gordan方程.然后,以广义Sine-Gordan方程为例,介绍了它的形式Backlund变换,也适用于其它方程.在本章的最后一部分将着重介绍Darboux变换的应用,以规范变换为例,详细地指出了能用不含η的规范变换把特征值问题(3.2.1)化为一般形式(3.2.2)的充要条件,并给出了规范变换及函数u, v的表达式,然后进一步说明了可以将(3.2.2)所对应的非线性问题化为(3.2.1)所对应的非线性发展方程.

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
1 绪论  8-13
  1.1 孤立子理论研究的历史和发展概况  8-9
  1.2 非线性发展方程求解方法的历史和现状  9-13
    1.2.1 Hirota 双线性法和反散射法  9-10
    1.2.2 Backlund 变换和Darboux变换法  10-11
    1.2.3 Painleve′奇性分析法  11-13
2 非线性发展方程的精确解解法  13-24
  2.1 广义辅助方程法在孤立子方程中的应用  13-17
  2.2 系统化解决微分-差分方程的方法及其应用  17-24
3 Backlund 变换和Darboux 变换  24-39
  3.1 Backlund 变换及其应用  24-33
  3.2 Darboux变换及其应用  33-39
参考文献  39-41
攻读硕士学位期间发表学术论文情况  41-42
致谢  42

孤子方程求解与Backlund变换、Darboux变换的应用

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