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带有次线性可乘白噪音的波方程的随机吸引子

作　者: 桑宗曦
导　师: 李扬荣
学　校: 西南大学
专　业: 基础数学
关键词: 波方程随机动力系统随机吸引子
分类号: O211.63
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

本文是对带有次线性可乘白噪音的波方程的随机吸引子存在性的研究。对随机动力系统吸引子的研究是现今研究的热点。早在1994年,Hans Crauel和Franco Flandoli在文献[3]中系统的介绍了随机动力系统的一些概念：如随机动力系统、吸引集、吸收集和全局吸引子,其中全局吸引子是紧的、不变且吸引所有有界集的随机集；并且指出：如果随机动力系统存在一个吸收所有有界集的随机紧集,则此随机动力系统存在一个全局吸引子。因此要证明随机动力系统存在全局吸引子只需证明此随机动力系统存在一个吸收所有有界集的随机紧集。在本文中,考虑如下带有次线性随机项的波方程：其中Ω是Rn,(n=1,2,3)上的有界开集,其边界aQ是充分正则的。未知泛函u=u(x,t)是定义地Ω×[τ,+∞),τ∈R的实值泛函。α,入均是正常数,u0(x)∈H01(Ω),u1(x)∈L2(Ω)。f(x)是与时间无关的已知泛函,并且f(x)∈H2(Q)∩H01(Ω)。W(t)是一维双边标准Wiener过程,而c(u)。dW(t)是次线性可乘白噪音。通过本文的证明,由上述方程的解产生的随机动力系统确实存在全局吸引子。本文分为四章：第一章：介绍随机动力系统和吸引子的背景,并给出了文中需要用到的一些基础理论知识。第二章：详细叙述了方程的形式。重新定义了一些空间,并指出H0γ1(Ω)与H01(Ω)等价、D(A(?))γ与D(A1+σ2)等价,从而E=H1(Ω)×L2(Ω)与E’=H10(Ω)×L2(Ω)等价,Eσ=D(A21+σ)γ×D(Aσ/2)与Eσ’=D(A1+σ/2)×D(Aσ/2)等价。提出定理2.2.1,说明当初值u(x,τ)=u0(x), ut(x,τ)=u1(x)满足不同的情况,方程(2.2.1)确实分别在空间E,E1存在惟一的解。最后指出由方程(2.2.1)的解产生一个随机动力系统(2.3.1)。第三章：首先证明在E空间中存在吸收集。命题3.1.2假设B是任意的有界集,当定义1.3.8式中的μ充分大,则存在一个随机半径ρ(ω)≥0,使得对任意的(u(x,τ),υ(x,τ))T∈B,存在TB(ω)≥0,当-τ≥TB(ω)时,对ω∈Ω几乎处处成立‖φ(0,θτω；φτ(ω))‖E≤ρ(ω).其次证明在Eσ空间中存在吸收集。命题3.2.2B是E中的有界子集,对充分大的μ,存在随机半径ρ1(ω)≥0使得Φi,Φj,Φk分别满足：其中σ如(3.2.2)式所示。记D(ω)是空间E中以ρ1(ω)为随机半径的开球。因此当σ≥max{1,α,64k12·(1+1/ε)2,16k22(1+1/ε)2,64c1/ε2)时,对任意的(u0,u1+εu0)T∈B,以及负充分大的τ,有：最后说明在空间E中存在紧的随机吸引子。由于Eσ是空间E的紧子空间,则集合D(ω)在空间E中是紧的。则由定理1.3.1,命题3.1.2和命题3.2.2可得：定理3.2.1当σ≥max{1,α,64k12·(1+1/ε)2,16k22；(1+1/ε)2,64c1/ε2)时,随机动力系统(2.3.1)存在紧的随机吸引子。第四章：介绍有待改进的地方。

全文目录

摘要  3-5
Abstract  5-9
第一章前言  9-13
  1.1 动力系统概述  9
  1.2 文献综述  9-10
  1.3 预备知识  10-13
第二章带有次线性可乘法白噪音的波方程及其生成随机动力系统  13-16
  2.1 带有次线性可乘法白噪音的波方程  13
  2.2 空间及波方程的解  13-15
  2.3 方程的解生成随机动力系统(RDS)  15-16
第三章带有次线性可乘白噪音的波方程的随机吸引子  16-26
  3.1 波方程在E空间存在吸收集  16-20
  3.2 波方程在E_σ空间中存在吸收集  20-26
第四章进一步的问题  26-27
参考文献  27-29
致谢  29-30
攻读硕士学位期间的科研成果  30

带有次线性可乘白噪音的波方程的随机吸引子

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