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一类Finsler流形的旗曲率及其Cartan张量

作　者: 周林峰
导　师: 莫小欢
学　校: 北京大学
专　业: 基础数学
关键词: (α，β)度量 Berwald度量 Landsberg度量旗曲率局部射影平坦平均Cartan张量 Cartan张量 R-quadratic
分类号: O186.1
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

本文主要考虑Finsler几何中的两个重要的几何量: Riemann几何量-旗曲率和非Riemann几何量-Cartan张量.我们利用常旗曲率方程研究了一类具有常旗曲率的Finsler度量,并给出了其局部的一个分类;接着利用Berwald标架证明了这类度量的Cartan张量是有界的.本文主要分为三章:在第一章中,我们介绍了Finsler几何中与以后各章相关的一些基本概念和定理,以便使本文在内容上完备.在第二章中,我们计算了(α,β)度量的Riemann曲率和Ricci曲率在自然坐标系下的局部表达式,并用此公式来讨论具有常旗曲率的一类(α,β)度量F =α(1 +β/α)~p (|p|≥1).我们给出了当p = 2时,此度量具有常旗曲率的充要条件,并证明了它们是局部射影平坦的.由此完成了常旗曲率的度量F = ((α+β)~2)/α的局部分类,解决了由B.Li和Z.Shen提出的一个问题[21].当p = -1时,我们得到了此度量具有常旗曲率的必要条件,而且发现不存在非平凡的常旗曲率的Matsumoto度量.更一般地,当1形式β为闭时,是否存在非平凡的常旗曲率的度量F =α(1 +β/α)~p (|p|≥1)?除了p = 1,2以外,我们给予了否定的回答.在第三章中,我们计算了(α,β)度量的Cartan张量和平均Cartan张量,并给出了它们之间的关系.接着我们继续讨论了度量F =α(1 +β/α)~p的Cartan张量,证明了当p属于区间[1,2)时,其Cartan张量是有界的.然后我们给出了此定理的应用,得出了关于曲率的两个自然的推论.

全文目录

摘要  2-3
ABSTRACT  3-5
前言  5-8
第一章 Finsler几何中的Cartan张量和曲率  8-17
  1.1 Finsler流形上的Cartan张量  8-10
  1.2 陈联络与旗曲率  10-12
  1.3 常旗曲率方程及Akbar-Zadeh刚性定理  12-14
  1.4 Berwald曲率和Landsberg曲率  14-17
第二章具有常旗曲率的(α,β)度量  17-43
  2.1 (α,β)度量的Riemann曲率和Ricci曲率公式  17-26
  2.2 常旗曲率度量F = ((α+αβ)~2)/α 的局部分类  26-36
  2.3 非平凡常旗曲率的Matsumoto度量的存在性问题  36-40
  2.4 关于更一般度量F = α(1 + β/α)~p的结果  40-43
第三章一类(α,β)度量的Cartan张量的界  43-51
  3.1 (α,β)度量的Cartan张量和平均Cartan张量  43-45
  3.2 F = α(1 + β/α)~p度量的Cartan张量的有界性讨论  45-49
  3.3 两个应用  49-51
附录A (α,β)度量的Riemann曲率的计算  51-60
参考文献  60-63
致谢  63-65

一类Finsler流形的旗曲率及其Cartan张量

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