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可积系统的多孤立子解及其符号计算研究

作　者: 扎其劳
导　师: 李志斌
学　校: 华东师范大学
专　业: 系统理论
关键词: 多孤立子解 非奇异多Complexiton解 符号计算 Darboux变换 Hirota直接方法 Wronskian技巧 可积耦合系统 Hamilton结构 非线性方程族
分类号: O175.29
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
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内容摘要


本文以符号计算为工具利用N重Darboux阵方法、可对角化的Darboux阵方法、Hirota直接方法和Wronskian行列式技巧研究了可积系统的多孤立子解以及解的性质.另外利用李代数的半直和思想和变分恒等式构造了耦合KdV方程族的可积耦合系统及双Hamilton结构.第一章是与本文相关的研究背景,简要综述了孤立子与可积系统理论的发展进程.针对性地介绍了近年来国内外在孤立子与可积系统方面的研究成果和发展状况.第二章中,利用N重Darboux阵方法,首次构造了一类等谱问题统一形式的Darboux变换,应用所得到的Darboux变换于联系广义Broer-Kaup-Kupershmidt与Boussinesq-Burgers(BKK-BB)谱问题的孤立子方程族中的不同方程,获得了它们的形式各异的新N-孤立子解,其中包括了一些多峰状的双向孤立子解.将N重Darboux阵方法与约化、分解技巧相结合,获得了一系列非线性演化方程的N孤立子解和N-complexiton解.我们利用AKNS谱问题Darboux变换的一种约化,求得复mKdV方程的多孤立子解;利用分解技巧,获得一个(3+1)维非线性演化方程的多种解和(2+1)维KP方程的新多孤立子解.第三章扩展可对角化的Darboux阵方法并将它应用到一个新谱问题、Boiti-Tu谱问题和一种广义Kaup-Newell谱问题上,成功构造出这些谱问题的Darboux变换,获得了一个无色散可积耦合方程的N-孤立子解,一个广义耦合mKdV方程的一系列孤立波解和一个广义导数非线性Schr(o|¨)dinger方程的一系列周期波解.基于可对角化的Darboux阵方法,我们给出了构造Darboux变换的一种算法.并在计算机代数系统Maple12上实现了该算法.第四章推广了Hirota直接方法,将Hirota直接方法求解过程中的实参数推广到共轭复数范围,给出了单、双complexiton解和N-complexiton解的一般表达式.通过对参数的适当选取,N-complexiton解可退化到标准Hirota直接方法的N-孤立子解.我们给出了一系列非线性演化方程的非奇异的新多complexiton解.第五章介绍了求解非线性演化方程的Wronskian行列式技巧.在本章中,我们给出一个(3+1)维非线性演化方程的广义Wronskian解公式,其中包括了positon解、negaton解、soliton(孤立子)解、complexiton解以及相互作用解.我们还计算出该(3+1)维非线性演化方程的双Wronskian解公式,利用它给出了该方程的有理解.第六章中,我们利用李代数的半直和思想构造了耦合KdV方程族的可积耦合系统,基于变分恒等式,进一步得到一个可积耦合系统的双Hamilton结构.另外,首次将N重Darboux阵方法成功应用于可积耦合系统中,构造出可积耦合系统的Darboux变换.

全文目录


摘要  6-7
AbstraCt  7-11
第一章 绪论  11-16
  1.1 研究背景  11-14
  1.2 本文的选题和主要工作  14-16
第二章 N重Darboux阵  16-54
  2.1 一类等谱问题统一形式的Darboux变换  17-35
  2.2 N重Darboux变换的约化及其应用  35-38
  2.3 高维方程的分解与(1+1)维方程的Darboux变换  38-52
  2.4 本章小结  52-54
第三章 可对角化的Darboux阵  54-80
  3.1 无色散可积耦合方程的多孤立子解  54-62
  3.2 广义耦合mKdV方程的孤立波解  62-68
  3.3 广义导数非线性Schr(o|¨)dinger方程的周期波解  68-73
  3.4 构造Darboux变换的算法及实现  73-79
  3.5 本章小结  79-80
第四章 Hirota直接方法与非奇异多complexiton解  80-97
  4.1 方法概述  80-82
  4.2 应用实例  82-96
  4.3 本章小结  96-97
第五章 Wronskian技巧与非线性演化方程的多种解  97-110
  5.1 Wronskian行列式及性质  97-98
  5.2 广义Wronskian解  98-106
  5.3 双Wronskian解  106-109
  5.4 本章小结  109-110
第六章 非线性方程族的可积耦合系统及其Hamilton结构、Darboux变换  110-123
  6.1 半直和Lie代数  110-111
  6.2 Coupled KdV族的可积耦合系统及其Hamilton结构  111-119
  6.3 可积耦合系统的Darboux变换  119-122
  6.4 本章小结  122-123
第七章 结束语  123-125
附录A 命题2.1(4)-2.1(6)的证明  125-132
附录B 附加条件相容性的证明  132-137
附录C 命题2.3(2)-2.3(5)的证明  137-144
参考文献  144-152
致谢  152-153
在读期间发表和接受的学术论文  153
参加的科研课题  153-154
获奖情况  154

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 非线性偏微分方程
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