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可积系统在微分几何中的某些应用与S～（n+1）中M（？）bius形式为零的超曲面

作　者: 夏巧玲
导　师: 白正国；沈一兵
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 可积系统微分几何超曲面平行移动多重调和映射对称空间 Darboux变换多重调和映照 Darboux矩阵复流形
分类号: O186.1
类　型: 博士论文
年　份: 2002年
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内容摘要

本文首先利用Darboux变换的方法给出了从Lorentz平面R^1,1到经典实半单Lie群的调和映照的具体构造，并给出其显式表示；其次研究了复流形到对称空间的多重调和映照及球空间Sⁿ中Willmore曲面，将这些映照所满足的几何条件转化为可积系统，然后利用可积系统理论分别给出复流形到对称空间的多重调和映照与Sⁿ中Willmore曲面的构造；最后利用Mōbius几何的理论给出Sⁿ⁺¹中具有三个不同主曲率且Mōbius形式为零的超曲面的分类。全文共分四章，具体内容如下：第一章利用Darboux变换的方法给出从R^1,1到经典实半单Lie群SL（N，R），SU（p，q），Sp（p，q），SO（p，q）的调和映射的具体构造，即从已知的平行移动Φ_λ通过Darboux变换的方法得到新的平行移动（?）_λ，从而给出新的调和映射。设G为半单矩阵群，g为其Lie代数，T为g的极大交换子代数，T^⊥为T关于g的Killing型（，）的正交补，a，b∈T为固定正则元。如果Ω（x，t）=A（x，t）dx+B（x，t）dt是平坦的g-值联络形式，且存在唯一映射Φ：R²→G使得Φ^-1Φ=Ω，Φ（0，0）=e（e是G的单位元），这样的Φ称为Ω的平行移动。设φ：R^1,1→G是光滑映照，在文献[T1]中证明了φ^-1φ_x∈G·（-2a），φ_-1φ_t∈G·（-2b）的调和映射φ：R^1,1→G的空间与-1流方程u_t=[a，Q_b,-1（u）]的解空间形成一一对应，其中G·x₀记为x₀点的伴随轨道。记v=Q_b，-1（u）∈g，由于-1流方程存在Lax对，其中足之‘任T上，本章构造了一个Darboux矩阵刀（:，，，习，使得蚕=垂D=侧汀一S（:，t））满到a入+句，蚕(入一‘司，云（二，云）〔Tl，下面就不同的矩阵群G分别构造不同的石(二，幻任g.Darboux矩阵. == J占‘︸垂︸垂l、..、定理1.2.2设‘=s石（万，丑），A=d‘a。（入1，久2，…，入，），其中入1，入2，…，久二任R，入，并0，1，一1（P=1，2，…，N），h，是（l.1.4）式对应入=入，的行向量解，H=（从，瞬，…，喻）‘是N火N阶的非退化矩阵，若s=H一‘AH在一点是实的，则云任T土，石任sl(N，句，且新的平行移动虱可通过下列变换从已知的平行移动垂*得到蚕*=（入了一s（o，o））一‘中，（久了一s）.（1 .2.10）对应新调和映射为历:Rl，‘、5 L（N，R），历=蚕一1毒r‘=（I+s（o，o））一’小一1（I+s）（，一S）一‘垂r‘（I一S（o，0）），（1 .2.11）且满足历一1历，:G.（一2a），毋一‘虱。G.（一zb）.（1 .2.12）如果选取非零复数拜，使得（1）入1=…=入;=拼，入k+、=…=久N=万笋拼;（2）选取行向量l，（。=1，2，…，N），使得在某点处，Ll垂（人‘）（1三乞兰无），LZ垂（入。）（无+1三〔、三N）分别是秩为无，N一k的矩阵，其中L;=(l充、…It。0.…，0、t、几J介，了少、^<sup>、产^<sup>护 N一kL:=（0，…0.，l奚+:，…，埃践（3）在某点处，h，=今到入。）满足h‘（久‘）今，。h乙（人。）=0则有定理1.2.5H二（从，雌，… 设G=su（p，q），入1，入2，…，久、及h，，hZ，…，h，满足（1），（2），（3），令，崎），，s=H一‘AH，则对应的新的平行移动番*可通过（l .2.10）从已知的平行移动垂*来得到，对应新调和映射毋:Rl，‘、su伽，刃由（l .2.11）式给出，且满足（1 .2.12）. 如果选取非零复数户，使得（l）‘Al=久:二…二入*=拜，入*十:=入*+:=…二久ZN=万笋川（2），选取lp（尸=1，2，一，ZN），使得在某点处，L:垂（久‘）（1三‘三k），LZ垂（久。）（儿+1三。三ZN）分别是秩为k，ZN一无的矩阵，其中Ll=（ll，…，魄，o，…，0）tL:= 、--、产--护 ZN一儿（p，…，0.，l轰+1，、^<sup>，俨^<sup>口…，l鑫、）‘; （3），在某点处，h。=l，垂（入，）（1三。三ZN）满足h*（久‘）h二（久。）=0;h*（人、）J心（勺）=0;h。（入。）Jh乡（久，）=0，（1，2.22）其中1兰乞，J丛k，无+1三a，月三ZN.则有定理1.2.7设‘=s尹（万）为辛群，入l，入2.…，入2、及hl，hZ，…，hZ、满足（1），，（2）‘，（3）‘，令H=（从，哒，…，h么耐‘，s=H一‘AH，则对应的新的平行移动番*可通过（l .2.10）从已知的平行移动垂、来得到，对应新调和映射子:Rl，‘*即（川由（l .2.11）给出，且满足（1 .2.12）. 注上述narboux变换方法完全适用于沙，。）型辛群s尹沙，。），只需修正条件（3）‘即可（见注1.2.3）. 定理1.2.5设‘=50（p，。）（万=尹+。为偶数），^1，人2，…，入，，…，入二（此时k=万/2）及hl，hZ，…，hN的选取同（l），（z），（s），H二(h气，瞬，…，h知‘，并假定S=H一IAH在一点是实的，则新的平行移动虱可通过（l .2.10）从已知的平行移动垂*来得到，对应新调和映射毋:Rl，’、sO(p，的由（l .2.n）给出，且满足（l .2.12）. 第二章证明了从复流形到对称空间的多重调和映射空间与扩张提升空间之间在相差一规范变换下存在一一对应，并给出确定的loop群在扩张提升空间的作用，因而也给出在多重调和映射空间土的作用.其次，利用loop群

全文目录

致谢  3-5
中文摘要  5-15
英文摘要  15-27
第一章从R~(1，1)到经典实半单Lie群的调和映射的具体构造  27-37
  1 从R~(1，1)到半单Lie群G的调和映射  27-29
  2 Darboux变换  29-37
第二章从复流形到对称空间的多重调和映射  37-50
  1 准备工作  37-39
  2 到对称空间的多重调和映射的扩张提升  39-43
  3 从C~n到对称空间的扩张提升  43-50
第三章球空间中Willmore曲面的Weierstrass-型的表示  50-74
  1 准备工作  50-53
  2 Willmore浸入的零曲率方程的表示  53-64
  3 Willmore浸入的Weierstrass型的表示  64-68
  4 Willmore曲面和极小曲面的关系  68-74
第四章 S~(n+1)中具有三个不同的主曲率且M(?)bius形式为零的超曲面  74-84
  1 引言与主要结论  74-75
  2 S~(n+1)中超曲面的M(?)bius几何  75-77
  3 主要定理的证明  77-84
参考文献  84-86

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