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准环及其应用

作　者: 周晶华
导　师: 杜现昆
学　校: 吉林大学
专　业: 基础数学
关键词: 准环 左零化子 同态像 幂零性 右零化子 子序列 统一处理 子列 非平凡 非零
分类号: O153.3
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
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内容摘要


虽然群论和环论的研究方法是不同的，但是我们可以发现许多环论结果和群论结果的表述是颇为类似的，比如有关左T-幂零环和超中心群的一些结论，一个自然的问题是，可否在某种更为广泛的环境下统一处理这些相似的结论，本文引入了一种新的代数结构—-准环，并讨论了准环的T-幂零性和零化子列的存在性之间的关系，作为应用，给出了环的左T-幂零性和群的超中心性的统一处理。 在第二节中，我们给出了准环的定义并给出了准环的一些基本性质。 定义2．1 设（G，+）是一个群（不必交换），对于任意x，y∈G，令xy=—y+x+y。在G上定义一种新的二元运算，写成乘法，若对于任意x，y∈G，乘法和加法之间满足下面的关系式： （x+y）z=（xz）y+yz， z（y+z）=xz+（xy）z，则称G是一个准环，且称上面的两个关系式为乘法对加法的准分配律。 非结合环（R，+，）恰为加法群交换的准环，准环的另一典型例子是（G，+，[，]），其中[，]是群（G，+）上换位子运算。 准环的理想I是（G，+）的一个正规子群，并且满足对任意的x∈G，有Ix（?）I，xI（?）I．我们证明了 定理2．1 准环上的同余关系和准环的理想是一一对应的。 第三节讨论了准环的左T-幂零性以及与其等价的几个条件。 定义3．1 称准环G是左T-幂零的，若对G中任意元素列x1，x2，…，都存在n，使得x1x2…xn=0。准环G的左零化子列是G的子准环的一个（超限）列0=Go仁Gl仁…侄G。仁二怪G。=G，使得G。叼Ga+，，G叶IG里 在G中归纳地定义:限序数。则规定，G（a）=数拼使得G=G(川，则称G。，且当a是一个极限序数时，G。=U。<。G庄G（0）=o，G（叶‘）二{x〔GlxG侄G（。）}，而对于极饰<。G(用.可以证明它是一个升列·若存在某序0二G（0）〔G（l）c…cG(司c…〔G(川=G为G的上左零化子列. 值得注意的是，我们并未要求上左零化子列是左零化子列. 我们给出了一个左T一幂零的单非结合环，其左零化子不是理想，因此上左零化子序列不是一个理想列. 我们有如下的重要的引理. 引理3.3设准环G的所有同态像的左零化子都是理想，则G(川司G，并且G的上左零化子序列是一个左零化子序列. 因此得到了本文的主要结果. 定理3.1若G的所有同态像的左零化子是理想，则下列陈述等价. （ l）G有上左零化子列; （2）G有左零化子列; （3）G的每个非零的同态像有非零的左零化子; （4）G是左T一幂零的. 定理3.3若准环G的所有同态像的左、右零化子是理想，则下列陈述等价. （l）G有上双边零化子列; （z）G有双边零化子列; （3）G的每个非零同态像有非零的双边零化子; （4）G既是左T一幂零的又是右T一幂零的. H红G是G的子准环，称集合IH={g任Gl妙，勺任H，Vh任H}为H的准理想化子.称G满足准理想化子条件，如果G的任意子准环都真包含于它的准理想化子里. 定理3.4若准环G既是左T一幂零的又是右T一幂零的，则G满足准理想化子条件. 与环论中有关Bae:根环的性质相似，在准环中我们有如下的结果. 定理3.5下列陈述等价. （l）G有理想列0二GO 9 Gl红…侄G，，二G其中Ga+IG叶1 gG。，且当a是极限序数时，有G。一U、。G口.（z）G的每一个非零的同态像有非零的理想N，使得NZ=O定理3.6若G满足定理3.5中的条件，则对于任意给定的两元素列xl，xZ，”;军1，甘2，“且满足从+l=从叭x‘，一定存在。>0，使得x。=0. 在第四节中，我们把第三节中的结果应用环和群上，从而得到了已有文献中的一些结论.例如把定理3.1一定理3.4应用到环上，即可得环中有关左T一幂零性的相应结论;将它们应用到群上，就得到群论中有关超中心群的如下的等价条件. 定理4.1下列陈述等价. （l）群G是超中心的; （2）群‘的非平凡同态像有非平凡的中心; （3）对于群G中任意两元素列xl，xZ，’“;万l，92且xt+1=[x:，川，都存在m>0，使得x。=1. 定理4.2若群G是超中心的，则G满足正规化子条件.

全文目录


1 引言  5-7
2 准环及其性质  7-11
3 准环的T-幂零性  11-19
4 应用  19-22
参考文献  22-23
摘要  23-26
ABSTRACT  26-30

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 抽象代数（近世代数） > 环论
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