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几类非线性椭圆方程的解的存在性问题

作　者: 张健
导　师: 韦忠礼
学　校: 山东大学
专　业: 基础数学
关键词: 变分方法椭圆方程临界指标非平凡解多解
分类号: O175.25
类　型: 博士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

非线性泛函分析是一个较新的领域,它以数学,物理学,化学,天文学,生物学,控制论,工程学,经济学等学科中出现的各种非线性问题为背景.非线性泛函分析的思想是通过建立各种抽象的理论来处理具体的非线性问题.它在非线性微分方程,计算数学,动力系统,控制理论,优化理论等领域有广泛的应用.非线性泛函分析主要包括半序方法,拓扑度理论,临界点理论等内容.许多数学家在非线性泛函分析的发展中做出了重要的贡献,如E. Rothe, M.A. Krasnosel’skii, L. Lusternick, L. Schnirelman, H. Amann, L. Nirenberg, I. Ekeland, A. Ambrosetti, P.H. Rabinowitz, M. Willem, M. Struwe, H. Brezis, J. Mawhin等.国内的许多数学家,如张恭庆教授,郭大钧教授,陈文源教授,李树杰教授,孙经先教授,刘兆理教授,邹文明教授等也做出了非常出色的工作.(见[1-5],[71],[78],[82],[91],[97-98]).变分方法是非线性泛函分析中的重要理论.它的基本思想是把方程的解看作是相应泛函的临界点.经典变分方法主要是寻找泛函的极值.需要指出的是对相当多的一类泛函,极值并不存在.另一方面,人们希望找到泛函的所有临界点.因此,产生了“大范围变分学”.极小极大原理是变分方法中的基本原理,由此导出的一系列极小极大定理是确定泛函临界值的重要工具,可以用来处理不存在极值的泛函.此外,Lusternik-Schnirelmann理论和Morse理论也是变分方法中的重要理论.本文我们利用变分方法研究了几类非线性椭圆方程的解的存在性和多解问题.第一章给出了Sobolev空间的定义,介绍了相应的嵌入定理.此外,我们还引入了一些紧性条件.第二章考虑了如下的一类双调和方程的多解的存在性：其中Δ2是双调和算子,α是实参数,Ω(?)RN是边界аΩ光滑的有界区域,N≥5,非线性项f,g满足一定的条件.通过[96]中建立的变化的喷泉定理,我们在α≥λ1和α<λ1的情形下得到了无穷多个高能量解的存在性,其中λ1是-Δ在H01(Ω)中的第一特征值.第三章研究了如下的一类0附近具有次线性性的双调和方程的多解的存在性：其中Δ2是双调和算子,Ω(?)Rs是边界аΩ光滑的有界区域,s∈N.α<λ1,λ是实参数,1<q<2,非线性项f满足一定的条件.通过综合利用变化的山路引理和环绕定理,我们得到了该问题多解的存在性.第四章研究了如下的一类带临界指标项的奇异椭圆系统：其中Ω(?)RN是边界аΩ光滑的有界区域,N≥3且0∈Ω.λ>0,1<q<2,α,β>1,α+β=2*:=(2N)/(N-2),0<s1,s2<2,2*(s1):=(2(N-s1))/(N-2),2*(s2):=(2(N-s2))/(N-2).这里2*是Sobolev临界指标,2*(s1),2*(s2)是Hardy-Sobolev临界指标.非线性项f在Ω上非负连续且满足一定的条件.0≤μ<μ：=((N-2)/2)2,其中μ是Hardy不等式的最佳常数.利用变分方法,我们讨论了该问题的紧性并得到了多个正解的存在性.问题的第一个正解通过Ekeland变分原理得到.问题的第二个正解通过山路引理得到.第五章研究了一类带多重临界指标项的奇异椭圆系统：其中Δpu=div(|▽u|p-2▽u),2≤p<N,α>1,β>1,α+β=p*：=(Np)/(N-p),0<s1,s2<p,p*(s1)：=(p(N-s1))/(N-p),p*(s2)：=(p(N-s2))/(N-p).这里p*是Sobolev临界指标,p*(s1),p*(s2)是Hardy-Sobole (?)临界指标.0≤μ<μ：=((N-p)/p)p,其中μ是Hardy不等式的最佳常数.通过克服由于紧性丧失带来的困难,我们得到了该问题的正解.

全文目录

中文摘要  5-8
英文摘要  8-11
第一章预备知识  11-13
第二章一类双调和方程的高能量解  13-29
  §2.1 主要结果  14-15
  §2.2 变分结构以及一些准备结果  15-16
  §2.3 引理以及主要结果的证明  16-29
第三章一类0附近具有次线性性的双调和方程的多解  29-47
  §3.1 引言及主要结果  29-31
  §3.2 预备知识及引理  31-35
  §3.3 主要结果的证明  35-47
第四章带临界指标项的一类奇异椭圆系统的多解的存在性  47-67
  §4.1 引言  47-50
  §4.2 预备知识及几个引理  50-58
  §4.3 主要结果  58-67
第五章一类带多重临界指标项的奇异椭圆系统的解的存在性  67-82
  §5.1 引言  67-68
  §5.2 变分框架及准备结果  68-71
  §5.3 主要结果  71-82
参考文献  82-90
致谢  90-91
攻读博士学位期间完成论文情况  91-92
学位论文评阅及答辩情况表  92

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