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子群性质与有限群结构

作　者: 唐锋
导　师: 夏建国
学　校: 南京师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 交换子群正规子群 (*)-型Frobenius-群弱拟正规子群超可解
分类号: O152.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

利用有限群子群的一些性质来刻划有限群的结构是有限群论的经典且重大的课题，也是有限群论研究的一个重要方法。子群有很多经典的性质，如交换，正规，可补等。本文从两个方面考察了子群性质对有限群结构的影响。（一）所有子群皆交换或正规的有限非交换群所有子群皆交换的非交换群称为内交换群，内交换群在[1]中有很详细的结论。而所有子群皆正规的非交换群称为Hamilton群[2]，Hamilton群的结构也早已给出。本章研究所有子群皆交换或正规的有限群的结构，首先给定一个概念：若有限群G是它的正规子群F与子群H的半直积，我们记G=[F]H。设G=[F]H是一个以F为核，循环群H为补的Frobenius群，若对任意的1＜H₁≤H，F都是不可约的H₁-子群，则称G为（*）-型Frobenius群。我们主要得到以下两个结论。结论1．设G非幂零，则G的所有子群皆交换或正规当且仅当G／Z（G）是一个（*）-型Frobenius群，且G满足下述性质之一：（1） F（G）交换。（2） F（G）非交换，F（G）=P×Q，其中P是F（G）的非交换的Sylow p-子群，Q=O_p′（Z（G））。且P是p³阶超特殊p-群。特别地，当p=2时，G／Q=SL（2，3）。结论2．设G是非交换幂零群。若G的所有子群皆交换或正规，则G=P×A，其中P是G的一个非交换的Sylow p-子群，A是G的交换p′-Hall子群。进一步，存在P的正规交换子群N，使得P／N的所有子群都正规。（二）一些特殊子群的弱拟正规性对有限群超可解性的影响子群的正规，半正规，c-正规，拟正规性质都对有限群的结构产生极大的影响。本章利用子群的弱拟正规概念得到了有限群超可解的几个充分条件。先给出“弱拟正规”的定义：称群G的子群H为G的一个弱拟正规子群，若任取K≤G，至少存在一个K的共轭子群K^x，x∈G，使得HK^x=K^xH。我们得到以下结论：若有限群G满足下列任一条件，则G超可解。（1） G的一个极大且循环的子群在G中弱拟正规；（2） M是G的一个具有素数幂指数的子群，M的所有Sylow子群及M的所有Sylow子群的极大子群均在G中弱拟正规；（3） M是可解群G的一个极大正规子群，M的极大子群均在G中弱拟正规；（4） G可解，G的Sylow子群的极大子群均在G中弱拟正规；（5） G可解，G的Sylow子群的循环子群均在G中弱拟正规；（6） G=AB，A∈Hall_π（G），B∈Hall_π′（G），A与B的Sylow子群均在G中弱拟正规。

全文目录

中文摘要  5-7
英文摘要  7-9
术语和符号  9-10
引言  10-13
  (一) 所有子群皆交换或正规的有限群  10-11
  (二) 子群的弱拟正规性质对有限群的影响  11-13
第一章所有子群皆交换或正规的有限群  13-25
  §1.1 引言和结果  13-15
  §1.2 若干引理  15-18
  §1.3 定理的证明  18-25
第二章子群的弱拟正规性质对有限群的影响  25-32
  §2.1 引言和引理  25-28
  §2.2 定理和证明  28-32
参考文献  32-33
致谢  33

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