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极大子群的s-完备对有限群结构的影响

作　者: 王存才
导　师: 钟祥贵
学　校: 广西师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 有限群极大子群极大完备 s-完备可解群超可解群
分类号: O152.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

在有限群的研究中,利用极大子群研讨群的结构是一个常用的并且是有效的方法,曾经得到一系列深刻的结果.1959年Deskins在在文献[1]中提出了极大子群指数复合的概念,并在1990年获得了关于群可解的一个充要条件：定理1.1.2.之后,关于极大子群的指数复合的研究取得了较大的进展.例如,A.Ballester-Bolinches和Luis M.Ezquerro在文献[3]中获得了关于群超可解的一个充要条件：定理1.1.3.李世荣和赵耀庆在文献[4,6,7]中得到了一系列有意义的结果后,在文献[8]中将极大完备推广到s-完备.本文的主要目的是研究极大子群的s-完备对有限群结构(如可解性,超可解性,幂零性)的影响.本文共分为两章,第一章主要介绍所涉及的有关研究背景,基本概念,引理和相关定理.第二章利用极大子群的极大完备和s-完备,得到有限群可解,超可解与幂零的一些充要条件和充分条件.主要结果如下：首先讨论了极大完备和s-完备和群的可解性的影响.主要有定理2.1.4,推广了Deskins的定理1.1.2,该结论已经再《北京教育学院学报》(2009,4(1)：1-3)发表,定理2.1.6是文献[5],[6],[7]研究工作的继续,该结论已经发表在《广西师范大学学报》(2010,28(1):13-17).定理2.1.4设G是有限群,p为|G|的素因子,群G可解的充分必要条件是对于G的每个满足如下条件的极大子群M,|G：M|p=1,存在I(M)的极大元C使得C／K(C)是幂零的,其Sylow2-子群的幂零类≤2.定理2.1.5设G是有限群,假设对于G的每个合数指数极大子群M,I(M)包含一个极大元C使得|C／K(C)|无平方因子,C／K(C)的阶大于或等于η(G：M)且η(G：M)2≤4,则G可解.特别地,G或者2-超可解或者G有一个同态像与S4同构.定理2.1.6设G是有限群,若G有一个可解极大子群M在G中的指数为素数幂,M的2-秩≤2,G的每个合数指数的极大子群都有一个极大完备C使得|C／K(C)|无平方因子,并且Cg匡M对一切g∈G成立,则G或者可解或者有一个截断与A5同构.设G为p-可解群,1=G0(?)G1(?)…(?) Gs=G是G的一个主群列.若Gi+1／Gi为P-主因子,则令|Gi+1／Gi=pni.在所有的p-主因子中,最大的ni称为G的p-秩,记为rp(G).群X称为群Y的一个截断,如果X是Y的一个子群的同态像.其次讨论了有限群的极大完备和s-完备得到群超可解的若干结论,主要结果有定理2.2.3,2.2.5,2.2.7,其中有两个结果发表在((凯里学院学报》(2009,27(6)：1-3)定理2.2.1设G是有限可解群,假设对于|G|的任意一个素因子p和每个pc-极大子群M,|G：M|=pd,d>1,,(M)包含一个极大元C使得C／K(C)循环,|C／K(C)|为合数且与(pd-1)(pd-1)…(p-1)互素,那么G或者超可解或者G／K(C)≌S4.定理2.2.3设有限群G与S4无关,则G超可解的充分必要条件是对于G的每个c-极大子群M,存在一个s-完备C使得CM=G且C／K(C)循环.定理2.2.5令π是一个素数的集合,设G是一个π-可解群.G为π-超可解的充分必要条件是对于G的每一个c-极大子群M满足|G：M|π≠1,存在一个s-完备C使得CM=G且C／K(C)是p阶循环群,p∈π.

全文目录

中文摘要  3-5
英文摘要  5-8
第一章基本概念和主要引理  8-16
  1.1 基本概念和基本结果  8-12
  1.2 主要引理  12-16
第二章主要结果  16-32
  2.1 极大子群的极大完备和s-完备与群的可解性  16-24
  2.2 极大子群的极大完备和s-完备与群的超可解性  24-30
  2.3 极大子群的极大完备和s-完备与群的幂零性  30-32
参考文献  32-34
符号说明  34-36
读硕期间发表的论文  36-37
致谢  37-39

极大子群的s-完备对有限群结构的影响

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