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一类传染病模型的稳定性和Hopf分支的分析

作　者: 丁德琼
导　师: 丁效华
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 传染病模型 Hopf分支地方病平衡点非线性发病率
分类号: O242.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 48次
引　用: 1次
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内容摘要

在科技高速发展的当代社会,随着环境的污染、生态的破坏以及国际交流的频繁,传染病又成了我们必须严肃面对的问题。众所周知,预防远胜于治疗。而对传染病数学模型的构造与研究是对传染病流行规律进行理论性研究的一种重要方法,是预防工作的的重要依据。在传染病模型中发病率起关键作用,经典的传染病模型都假定发病率是线性的。事实上,当患者很少时,因为人们对传染病的认识少,防御能力低,使发病率随患者的增加而增加;而当患者数目增大到一定程度时,人口与患者单位时间内的接触率的增加会降低,从而导致发病率的增加随患者数目的增加而减少,所以非单调发病率更符合实际。我们知道,人体本身就对疾病具有一定的免疫力,但是这种免疫力不是永久性的,因此在模型中注入暂时的时滞来表示易感者从感染病原体到能传染其他易感者的时间更具有现实意义,我们不妨假设这一时滞为定值τ。本文构造了一个具有非单调发病率和延迟的传染病模型。研究了模型在地方病平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性。研究得到了稳定性是有转变的,并且当延迟τ穿过一系列临界值时会产生Hopf分支。在假定Hopf分支存在的条件下,我们通过应用规范形理论和中心流形定理获得了确定分支方向、稳定性和周期解的性质的显示公式。最后我们用数值试验说明了我们得到的结果。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
第1章绪论  8-13
  1.1 传染病模型研究的目的和意义  8
  1.2 传染病模型的产生和发展  8-11
  1.3 国内外在该方向上的研究现状  11-12
  1.4 本文研究的主要内容及结构  12-13
第2章预备知识  13-24
  2.1 引言  13
  2.2 传染病模型的基本定义  13-14
  2.3 SIRS 模型的构造和基本假设  14-16
  2.4 延迟微分方程基本理论  16-18
  2.5 延迟微分方程Hopf 分支理论  18-22
  2.6 中心流形定理  22-23
  2.7 本章小结  23-24
第3章稳定性与分支  24-30
  3.1 预备知识  24-25
  3.2 系统在平横点 E~* 处的稳定性的研究  25-28
  3.3 系统在平横点 E~* 处Hopf 分支的存在性  28-29
  3.4 本章小结  29-30
第4章 Hopf 分支的方向与稳定性的研究  30-42
  4.1 预备知识  30
  4.2 系统在Hopf 分支处的方向和稳定性分析  30-40
  4.3 数值算例  40-41
  4.4 本章小结  41-42
结论  42-43
参考文献  43-47
致谢  47

一类传染病模型的稳定性和Hopf分支的分析

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