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具有预防接种且总人口数变化的传染病模型的稳定性分析

作　者: 李春艳
导　师: 李冬梅
学　校: 哈尔滨理工大学
专　业: 基础数学
关键词: 预防接种传染病模型垂直传染稳定性 Hopf分支
分类号: O175.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 45次
引　用: 1次
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内容摘要

传染病的预防和控制是一个十分重要的问题。预防接种是控制疾病流行的有效方法之一。本文利用微分方程理论研究了具有预防接种的流行病模型,找到控制疾病传播的阈值,主要工作如下:考虑总人口数是常数输入的影响,研究了一类具有预防接种和垂直感染的传染病模型。利用分析方法讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性,得到了决定疾病绝灭与否的阈值。分别利用特征值方法和Routh-Hurwitz判据得到了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性。利用构造Lyapunov函数的方法,给出了无病平衡点的全局稳定性充分条件,利用LaSalle不变集原理,获得了地方病平衡点的全局稳定性充分条件,并且利用Matlab软件进行了数值模拟。考虑了疫苗的有效期对模型的影响,研究了一类预防接种下总人口数变化的SIRS传染病模型,利用分析方法讨论了无病平衡点和地方病平衡点的存在性,得到了决定疾病绝灭与否的阈值。利用Hurwitz判据得到无病平衡点的局部稳定性充分条件。利用Lyapunov定理证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性。利用Hopf分支理论讨论了地方病平衡点的Hopf分支的存在性。利用中心流型理论和规范型方法得到了Hopf分支的分支方向和稳定性的充分条件。并且利用Matlab软件进行了数值模拟。通过对具有预防接种的流型模型的研究,可以找到更好地控制流行病传播的方法,这对于人类的健康和传染病的控制工作有着重要的理论和现实意义。

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-10
第1章绪论  10-16
  1.1 综述  10
  1.2 国内外发展概况  10-13
    1.2.1 传染病模型的发展  10-12
    1.2.2 具有时滞的传染病模型的发展  12-13
  1.3 存在的问题及有待进一步研究的内容  13
  1.4 课题来源  13-14
  1.5 主要研究内容  14-16
    1.5.1 具有预防接种和垂直传染的SIR 模型  14
    1.5.2 具有预防接种和疫苗有效期的SIRS 模型  14-16
第2章预备知识  16-21
  2.1 常微分方程的基本概念及基本定理  16-18
    2.1.1 基本概念  16-17
    2.1.2 基本定理  17-18
  2.2 极限方程理论  18-19
  2.3 滞后型泛函微分方程相关概念及定理  19-21
第3章具有预防接种和垂直传染的SIR 模型  21-31
  3.1 引言  21
  3.2 模型的建立  21-23
  3.3 模型的分析  23-27
    3.3.1 平衡点的存在性  23-24
    3.3.2 无病平衡点的稳定性  24-25
    3.3.3 地方病平衡点的稳定性  25-27
  3.4 模型的生物学解释  27-28
  3.5 数值模拟  28-30
  3.6 本章小结  30-31
第4章具有预防接种和疫苗有效期的SIRS 模型  31-55
  4.1 引言  31
  4.2 模型的建立  31-33
    4.2.1 传染病的传播机理  32-33
  4.3 平衡点的稳定性  33-38
    4.3.1 平衡点的存在性  33-34
    4.3.2 无病平衡点的稳定性分析  34-36
    4.3.3 地方病平衡点的稳定性分析  36-38
  4.4 Hopf 分支的存在性  38-41
  4.5 Hopf 分支的分支方向  41-51
  4.6 生物学解释  51-52
  4.7 数值模拟  52-54
  4.8 本章小结  54-55
结论  55-56
参考文献  56-60
攻读硕士学位期间发表的学术论文  60-61
致谢  61

具有预防接种且总人口数变化的传染病模型的稳定性分析

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