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延迟微分方程Hopf分支及耗散性的数值研究

作　者: 王丽莎
导　师: 丁效华
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 延迟微分方程 Hopf分支 Neimark-Sacker分支耗散性非标准有限差分格式 Runge-Kutta方法
分类号: O241.81
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 25次
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内容摘要

近几十年来,延迟微分方程(简称DDEs)作为一类重要的数学模型,越来越多地被应用于人口学、生物学、近代物理学、医学、自动控制系统等众多科学领域。由于只有少数特殊的DDEs可以显式求解,因此构造合适的数值方法是有实用价值的。在实践过程中,人们发现,研究能否保持原系统的动力学性质的方法才具有显著意义。本论文分别对两种DDEs构造不同的数值方法,并对这些数值方法是否保持原微分系统的Hopf分支及耗散性分别进行研究。首先,对一些学者关于DDEs的Hopf分支和耗散性以及应用某些数值方法离散化之后的数值系统的Neimark-Sacker分支和耗散性的研究成果进行了总结。其次,简单介绍了求解DDEs的两种数值方法,在此基础上,介绍研究DDEs的离散系统的Neimark-Sacker分支及耗散性所需要用到的基本概念和重要的定理。同时,对论文中常用的记法进行了说明。再次,针对延迟Nicholson果蝇模型,本文考虑了非标准有限差分方法作用后的离散系统的动力学性质。首先,分析了数值离散系统正不动点的稳定性。通过分析特征根的变化情况,再应用Neimark-Sacker分支定理,给出了Neimark-Sacker分支存在的充分条件。利用规范形理论和中心流形定理,得到了判断分支方向和闭不变曲线稳定性的显式表达式。通过比较数值离散系统和原系统的分支结构,结果说明了非标准有限差分格式可以保持原系统的Hopf分支。此外,通过相应的数值实验来说明理论上推得的结论的正确性。最后,对一类特殊的一类具有耗散性的非线性中立型延迟微分方程运用Runge-Kutta方法将其离散化,证明得出保持数值系统耗散性的充分条件。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
第1章绪论  8-15
  1.1 延迟微分方程的研究背景及意义  8-9
  1.2 求解延迟微分方程的数值方法  9-10
  1.3 延迟微分方程数值方法的发展现状  10-14
  1.4 本文的主要工作  14-15
第2章延迟微分方程数值处理的一般理论  15-20
  2.1 引言  15
  2.2 数值处理涉及到的定理和定义  15-19
  2.3 本章小结  19-20
第3章离散Nicholson 果蝇系统的Neimark-Sacker 分支  20-33
  3.1 引言  20-21
  3.2 不动点的稳定性和Neimark-Sacker 分支的存在性  21-25
  3.3 分支方向和闭的不变曲线的稳定性  25-29
  3.4 数值算例  29-30
  3.5 本章小结  30-33
第4章中立型延迟微分方程的数值耗散性  33-41
  4.1 引言  33-34
  4.2 一些概念  34-35
  4.3 Runge-Kutta方法的耗散性  35-40
  4.4 本章小结  40-41
结论  41-42
参考文献  42-47
攻读硕士学位期间发表的学术论文及其它成果  47-49
致谢  49

延迟微分方程Hopf分支及耗散性的数值研究

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