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多参数量子群的结构和实现

作　者: 裴玉峰
导　师: 胡乃红
学　校: 华东师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 多参数量子群 Drinfel’d double 模代数斜导子 R矩阵 Yetter-Drinfeld模量子shuffle代数 Lusztig代数 Ringel-Hall代数 Hopf二上循环
分类号: O152.5
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

受到近来双参数量子研究的鼓舞和启发,本文系统研究了一类由C.Fronsdal [45](或者参考V.Kharchenko[81]和M.Rosso[121])定义的多参数量子群Uq(gA)的结构和实现.这里A=(aij)i,j∈I是可对称化的广义Cartan矩阵,gA是对应的Kac-Moody代数,q=(qij)i,j∈I是满足条件qijqji=qiiaij,■i,j∈I的参数矩阵.Uq(gA)包含了熟悉的单参数量子Drinfel’d-Jimbo型量子群以及多种类型双参数量子群[9,11,16,63,68,69].首先,我们证明了●Uq(gA)是Hopf代数并具有三角分解结构,Uq(gA)≈Uq+■Uq0Uq-,(作为向量空间),这里Uq+,Uq0,Uq-是Uq(gA)的子代数.●Uq(gA)具有Drinfel’d double结构,Uq(gA)≈D(Ua≤0,Uq≥0,<,>q), (作为Hopf代数),这里Uq≤0,Uq≥0是Uq(gA)的Hopf子代数,<,>q是Uq(gA)上的斜Hopf对.●借助Uq(gA)的斜导子■,我们证明了量子群的正部分Uq+是Uq(gA)一模代数,模作用■定义为:对任意的μ∈Q(gA的根格),i∈I,x∈(Uq+)β,●借助参数量子群Uq(gA)的表示理论,我们证明了斜Hopf对<,>q的非退化性.类似于经典Kac-Moody代数(或对应的单(双)参数量子包络代数)的方法,我们证明了一个不可约的最高权模Vq(λ)成为是可积权模范畴Ointq中的对象的充分必要条件是λ∈Λ+.Ointq是半单的辫子张量范畴.然后,我们从Hopf代数形变的角度对Uq(gA)的结构做了进一步刻画.证明了●Uq(gA)扭等变于Drinfel’d-Jimbo单参数量子群Uq(gA),Uq(gA)≈Uqσ(gA),(作为Hopf代数),这里σ是Uq(gA)上的一个Hopf二上循环,Uqσ(gA)是σ变形后得到的Hopf代数.●Uq(gA)扭等变于Drinfel’d-Jimbo单参数量子群Uq(gA),Uq(gA)≈Uq,σ′(gA), (作为双分次Hopf代数),这里σ′是自由交换群Q×Q的一个二上循环,Uq,σ(gA)是σ′双分次变形后得到的Hopf代数.●作为推论,我们给出Uq(gA)上的存在唯一非退化的斜Hopf对的新证明,并得到Ointq≈Ointq, (作为辫子张量范畴),这里Ointq是单参数量子群的可积权模范畴.最后,我们研究了多参数量子群正部分Uq+的实现.●我们研究了多参数版本的Green-Lusztig-Rosso理论,证明了Uq+≈Uq≈fq, (作为代数),这里Uq是Green-Rosso的多参数版本shuffle子代数,fq是多参数版本的Lusztig代数.●我们研究了多参数版本的Green-Lusztig-Ringel理论(非generic),证明了Uv+≈Lv(Λk,R), (作为代数),这里Lv(Λk,R)是多参数版本的扭合成子代数.

全文目录

摘要  6-8
Abstract  8-12
第一章引言  12-26
  1.1 研究背景  12-15
  1.2 主要结果与内容安排  15-19
  1.3 与本文相关的一些工作  19-20
  1.4 预备知识  20-26
    1.4.1 一些组合恒等式  21
    1.4.2 τ-线性函数  21-22
    1.4.3 Hopf代数  22-23
    1.4.4 Kac-Moody代数  23-24
    1.4.5 单参数Drinfel'd-Jimbo量子群  24-26
第二章多参数量子群的结构  26-44
  2.1 多参数量子群  26-31
  2.2 三角分解  31-33
  2.3 Drinfel'd double  33-37
  2.4 模代数  37-44
第三章多参数量子群的表示  44-59
  3.1 范畴Ο_(int)~q  44-50
  3.2 完全可约性  50-54
  3.3 R-矩阵  54-59
第四章 Hopf代数形变  59-72
  4.1 Hopf代数的二上循环变形  59-64
  4.2 Hopf代数的(双)阶化变形  64-72
第五章量子shuffle代数实现  72-82
  5.1 U_q~+上的双线性型  72
  5.2 多参数量子shuffle代数  72-76
  5.3 U_q~+嵌入量子shuffle代数  76-78
  5.4 PBW型基  78-82
第六章 Lusztig代数实现  82-88
  6.1 多参数Lusztig代数  82-84
  6.2 τ-分次对偶代数  84-85
  6.3 ′f_q上的半线性型  85-87
  6.4 根基定理  87-88
第七章 Ringel-Hall代数实现  88-98
  7.1 多参数Ringel-Hall代数  88-93
  7.2 扭的合成子代数  93-94
  7.3 广义Green类  94-98
附录A 引理2.3证明中的计算  98-100
参考文献  100-111
攻读博士学位期间的研究成果  111-112
后记  112-113

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