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黎曼子流形上几何与拓扑的若干问题研究

作　者: 方望
导　师: 许洪伟
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 紧致子流形 平行平均曲率 单位球面 刚性定理 紧致极小子流形 特征值问题 全测地子流形 局部对称空间 下界估计 黎曼
分类号: O186.12
类　型: 博士论文
年　份: 2005年
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内容摘要


本文着重研究黎曼子流形上几何与拓扑的若干问题，主要内容包括子流形的几何刚性、拓扑球面定理和Laplace-Beltrami算子的特征值问题。 刚性理论是子流形几何中久盛不衰的重要方向，其根源可追溯到经典曲面论的高斯绝妙定理。近40年来，这一研究领域取得了许多重要进展，其中关于球面中极小子流形的Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi定理被国际上公认为这方面最重要的成果之一。Okumura、丘成桐、do Carmo等许多学者曾试图证明球面中平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi刚性定理，并获得部分结果。1993年，Xu完整地证明了球面中平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi刚性定理。之后，Xu又证明了单位球面中平行平均曲率子流形整体pinching的刚性定理。本文证明了pinched黎世流形中平行平均曲率子流形的一个整体pinching定理，并在简洁的几何条件下给出子pinched局部对称空间中极小子流形的整体pinching定理。 1986年，H．Gauchman [25]获得了关于球面中紧致极小子流形的著名刚性定理：设Mn是n+p维单位球面Sa+p（1）中n维紧致极小子流形，h是M的第二基本形式。若对任意单位切向量u∈UM，有σ（u）≤1／3，其中σ（u）=‖h（u，u）‖2，则σ（u）≡0，即M是全测地子流形；或者σ（u）≡1／3，并且要完全确定这类极小子流形的几何结构。对城更为一般的平行平均曲率子流形的情形，本文首次证明了下述广义(Gauchman定理：设Mn是n+p维单位球面Sn+p（1）中n维完备平行平均曲率子流形，H为其平均曲率。若对任意单位切向量u∈UM，有σ（u）≤1／3，则σ（u）≡H2，即M是全脐子流形；或者σ（u）≡1／3，并且可完全确定平行平均曲率

全文目录


摘要  4-6
Preface  6-16
Abstract  16-29
Chapter 0 Preliminaries  29-38
  0．1 Notations and Local Formulae  29-32
  0．2 Some Properties of Eigenvalues and Heat Kernel  32-36
  0．3 Some Useful Lemmas  36-38
Chapter 1 Global Pinching Theorems for Submanifolds  38-69
  1．1 Main Results  39-43
  1．2 Geometric Inequalities for Submanifolds with PMC  43-54
  1．3 Pinching Theorem for Submanifolds in a Pinched Riemannian Maniflold  54-65
  1．4 Geometric Inequalities for Minimal Submanifolds  65-67
  1．5 Pinching Theorem for Submanifl01ds in a Pinched Locally Symmetric Riematinian Manifold  67-69
Chapter 2 Rigidity for Complete Submanifolds with PMC  69-87
  2．1 Main Results  69-73
  2．2 Maximal Direction and Lower Bound of Ricci Curvature for Submanifolds  73-80
  2．3 Rigidity for Complete Submanifolds with PMC  80-87
Chapter 3 Topological Sphere Theorems for Submanifolds  87-99
  3．1 Main Results  87-90
  3．2 Topological Sphere Theorem for Submanifolds in a Sphere  90-95
  3．3 Topological Sphere Theorem for Submanifolds in a Pinched Riemannian Manifold  95-99
Chapter 4 Geometric Lower Bounds for Eigenvalues of Submanifolds  99-109
  4．1 Main Results  99-103
  4．2 Lower Bound for First Eigenvalue  103
  4．3 Geometric Lower Bound for Higher Eigenvalues  103-109
Bibliography  109-116
Curriculum Vitae  116-117
Acknowledgements  117

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 几何、拓扑 > 微分几何、积分几何 > 微分几何 > 黎曼几何
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