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孤立子方程求解与可积系统

作　者: 张玉峰
导　师: 张鸿庆
学　校: 大连理工大学
专　业: 计算数学
关键词: 非线性发展方程 C-D对精确解 Backlund变换齐次平衡法 Lie群相似约化对称谱问题位势可积方程族 Lax对零曲率方程（Lie群结构方程） Hamilton结构 Lax可积和Liouville可积屠格式迹恒等式有限维和无限维Hamilton系统可积耦合
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2002年
下　载: 480次
引　用: 8次
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内容摘要

本文研究的主要内容包括：C-D对的构造方法与孤立子方程的精确解，包括行波解、周期解；Backlund变换的求法与孤立子间的关系；相似约化与古典Lie群和非古典Lie群方法；孤子族的生成和Lie群结构方程，Hamilton结构及Lax对表示；可积耦合的各种不同构造方法等多个方面。第二章介绍了C-D可积系统及其在孤立子方程精确求解中的作用，求得了许多有物理意义的非线性演化方程的精确解、奇性解、周期解和有理式解；同时还讨论了生成C-D对的各种方法；研究了利用C-D对(Lax对)构造Darboux变换的方法，作为应用得到了一类Duffing型方程的孤子解。本章最后，给出了含三个位势的等谱问题对应的三类Darboux变换。第三章主要综述了Backlund变换(BT)的构造方法，包括不含参数的BT和含参数的BT的构造方法。以Benjamin方程为例，给出了含参数的BT的叠加公式以及无穷守恒律的构造方法。第四章介绍和研究了非线性发展方程的相似约化，以热传导方程为例，说明了非古典Lie群的构造方法；给出了利用非线性变换法求微分方程的相似约化的方法，得到了著名的Boussinesq方程的相似约化；特别地给出了直接约化的方法(CK方法)的改进，求得了广义Burgers方程的各种形式的相似约化，包括行波约化、对数约化、幂形式约化、有理分式约化等，并用非古典Lie群方法一一验证。第五章介绍和研究了非线性演化方程族的生成及其可积性问题。内容包括几个方面：(1)扩展了屠格式的应用范围，将在loop代数(?)上的屠格式延拓到loop代数(?)上，由此得到了高阶对称约束条件下的约束流的Lax对变换、Hamilton结构、Darboux变换；(2)构造了一个新的loop代数(?)，得到了KN族等的可积耦合；(3)给出了构造Lax对的一般方法，再由loop代数(?)，求出了TD方程族、广义AKNS族的可积耦合；(4)构造了一个不同于loop代数(?)的另一个新的loop代数(?)，由此求出了著名的BPT族的可积耦合。

全文目录

中文摘要  6-8
英文摘要  8-10
第一章绪论  10-18
  §1．1 孤立子理论的产生及其发展  10-11
  §1．2 孤立子理论研究概述  11-18
第二章 C-D可积系统及其应用  18-50
  §2．1 C-D可积系统与PDES的精确解  18-22
  §2．2 C-D对的构造方法  22-43
  §2．3 C-D对与DARBOUX变换  43-50
第三章 BACKLUND变换及其有关问题  50-58
  §3．1 利用齐次平衡法获得BACKLUND变换  50-54
  §3．2 带参数的BACKLUND变换  54-58
第四章非线性发展方程的相似约化  58-69
  §4．1 古典和非古典LIE群法  58-61
  §4．2 利用非线性函数变换约化微分方程  61-63
  §4．3 直接约化法及其改进  63-69
第五章非线性演化方程族的生成及其可积性  69-115
  §5．1 可积性与屠格式  69-73
  §5．2 广义热传导方程族及其HAMILTON结构  73-76
  §5．3 一族LIOUVILLE可积系及其约束流的LAX表示、DARBOUX变换  76-87
  §5．4 屠格式在LOOP代数A_2上的应用  87-91
  §5．5 可积耦合及其求法举例  91-99
  §5．6 LAX对变换与可积耦合  99-106
  §5．7 一个新的LOOP代数及其应用  106-110
  §5．8 BOITE-PEMPINELLI-TU（BPT）族的可积耦合  110-115
参考文献  115-122
作者在攻读博士期间发表论文目录  122-123
致谢  123-124

孤立子方程求解与可积系统

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