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无限维李代数与广义顶点代数

作　者: 高永存
导　师: 孟道骥
学　校: 南开大学
专　业: 基础数学
关键词: 顶点代数 Toroidal李代数无限维 Cartan子代数完备李代数有限维表示幂零根基仿射 Borel子代数可解李代数
分类号: O152.5
类　型: 博士论文
年　份: 2001年
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内容摘要

Kac-Moody代数，特别是仿射李代数是一类对数学和物理产生了深刻影响的无限维李代数。本文讨论几类与仿射李代数相关的无限维李代数与广义顶点代数。全文包括第一章引言在内共由五章构成。第二章讨论仿射李代数的Cartan子代数，正则Cartan子代数及可裂Cartan子代数的关系。Cartan子代数在有限维李代数，特别是半单李代数的研究中起着十分重要的作用。1998年Y.Billig和A.Pianzola对任意维的李代数引入了Cartan子代数和正则Cartan子代数的概念。我们证明对仿射李代数而言有如下事实：可裂Cartan子代数(?)正则Cartan子代数(?)Cartan子代数。特别地我们给出了仿射李代数的子代数为可裂Cartan子代数的一个由正则局部有限元刻划的充分必要条件（定理2.2.6）并确定了全体正则局部有限元（命题2.2.9），这些结论部分地推广了有限维半单李代数的结果。 Toroidal李代数T_[m]是仿射李代数的一种自然推广。当m＝1时Toroidal李代数即为非扭仿射李代数。第三章我们讨论Toroidal李代数及表示的某些性质。第一节是预备知识。第二节讨论Toroidal李代数生成元，理想及导子的性质。我们证明T_[m]的系数在T_[m]中的一阶上同调群的维数为m~2。第三节给出了多重Loop代数有限维不可约表示的分类和实现。第四节利用仿射李代数的中心作用为零的模构造了一类Toroidal李代数的模。一个李代数称为完备李代数若其中心为零且导子均为内导子。第四章为与完备李代数相关的内容。第一节我们证明了具有极大秩幂零根基的可解李代数完备的一个充要条件（定理4.1.10）。事实上我们给出了一种构造所有这样完备李代数的方法。第二节首先利用有限维半单李代数的有限维表示构造了一类新的无限维完备李代数。然后利用这些无限维李代数导出了一类具有极大秩幂零根基的非可解完备李代数并证明其Borel子代数及抛物子代数均为完备李代数。第三节利用仿射李代数的属于范畴o的模构造了另一类新的无限维完备李代数．这些李代数的广义Borel子代数及广义抛物子代数也是无限维完备李代数．第五章是与广义顶点代数相关的内容．共由三节构成．第一节回顾广义顶点代数的定义及一些基本对偶性质．第H节为本章的核心内容．设W是一G分次空间．首先我们定义一种W上仿费米算子的广义顶点前代数．然后我们证明任一W上仿费米算子的广义顶点前代数自然生成一广义顶点代数且使 W成为其模．这一结果推广了p2］中的一个结果．第三节利用第二节的结果证明对水平为任何非零值的仿射李代数的模存在典型的广义顶点代数．

全文目录

1 Introduction  8-11
2 The regular locally finite elements and Cartan subalgebras of Kac-Moody algebras  11-17
  2．1 Preliminaries  11-13
  2．2 The Cartan subalgebras of Kac-Moody algebras  13-17
3 Some properties of toroidal Lie algebras  17-29
  3．1 Notions and preliminaries  17-20
  3．2 Some properties of T_[m]  20-24
  3．3 On the finite-dimensional representations of iterated loop algebras  24-26
  3．4 Some modules for T_[m] induced by modules for affine Lie algebras  26-29
4 Complete Lie algebras and modules for Kac-Moody algebras  29-42
  4．1 Solvable complete Lie algebras with l-step nilpotent radicals  29-33
  4．2 Complete Lie algebras constructed by using modules of semisimple finite-dimensional Lie algebras  33-37
  4．3 Complete Lie algebras constructed by using the modules of affine Lie algebras  37-42
5 Generalized vertex pre-algebras of parafermion operators  42-71
  5．1 Definition and duality for generalized verterx algebras  42-50
  5．2 Generalized vertex algebras generated by parafermion operators  50-65
  5．3 Generalized vertex algebras associated to affine Lie algebra mod-ules of any non-zero level  65-71
Bibliography  71-76

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