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信息几何及其应用

作　者: 汪洪浪
导　师: 刘克峰
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 凸分析对偶散度等仿射几何有效估计量矩阵逼近
分类号: O186.12
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

信息几何是为了研究统计流形的不变性而诞生的,凸分析及其对偶性是其中很特殊但也很重要的一部分。统计流形在一定的不变原则下被证明具有唯一的黎曼度量,即为Fisher信息阵,以及一对对偶的仿射联络。当其对偶平坦时,我们可以在两个概率分布之间定义一个不变散度。广义的勾股定理可通过对偶联络定义的e一测地线和m一测地线来描述,从而射影定理及其对偶也成立。这篇文章还从微分几何的角度考虑了贝叶斯统计,描述了等仿射几何和贝叶斯统计之间的关系。贝叶斯统计中的先验分布在统计流形上就是一个体积形式,我们应用等仿射几何给出了贝叶斯统计中α-平行先验和Jeffrey先验之间的关系。信息几何中一个典型的例子就是曲指数族,我们从几何的角度考虑了其经典的统计推断和贝叶斯统计。特别地,我们分析了统计量的渐进理论,评估了统计量的各种有效性。作为应用,这篇论文还通过引进特殊的联络介绍了正定矩阵集的微分几何理论,运用这套理论我们获得了矩阵逼近理论的一些有趣的几何解释。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-6
目录  6-8
第一章对偶平坦空间  8-24
  1.1 仿射联络  8-10
  1.2 流形上的对偶结构  10-11
  1.3 对偶坐标系  11-14
  1.4 散度函数  14-18
  1.5 子流形几何  18-20
  1.6 凸分析与散度函数  20-24
第二章等仿射结构  24-30
  2.1 基本概念  24
  2.2 统计结构  24-30
第三章统计流形及其几何  30-48
  3.1 统计流形  30-32
  3.2 曲指数族的信息几何  32-34
  3.3 统计推断  34-35
  3.4 估计量的有效性  35-36
  3.5 极大似然估计  36-38
  3.6 相伴坐标系  38-40
  3.7 相合性的几何特征  40-41
  3.8 一阶有效性的几何特征  41-42
  3.9 高阶有效性的几何特征  42-44
  3.10 等仿射结构与贝叶斯统计  44-48
第四章信息几何在正定矩阵中的应用  48-52
  4.1 正定矩阵问题信息几何化  48-50
  4.2 矩阵逼近问题求解  50-52
参考文献  52-54
简历  54-55
致谢  55

信息几何及其应用

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