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非线性可积系统及其相关问题

作　者: 尤福财
导　师: 夏铁成；盛万成
学　校: 上海大学
专　业: 计算数学
关键词: 可积系统 可积耦合 Hamilton结构 Lax可积性 Liouville可积性 约束流 非交换KP族 可积分解 精确解 Hirota方法 Wronskian技巧 五阶KdV方程 等谱Levi方程 非等谱Levi方程 动力学特征
分类号: O175.29
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
下　载: 236次
引　用: 1次
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内容摘要


本文的主要内容包括:1.从一个3×3矩阵谱问题出发,推导出广义MKdV方程族,构造此方程族Hamilton结构,证明在Liouville意义下是可积的.通过对称约束得到有限维Hamilton系统。通过Lie代数半直和构造可积耦合系统,利用变分恒等式得到可积耦合系统的Hamilton结构。由拟微分算子技术构造非等谱非交换的KP方程族。2.首次给出两类变系数非线性演化方程的Frobenius可积分解,包括变系数KdV方程,势KdV方程,Boussinesq方程,Camassa-Holm方程等。把(2+1)维广义KP,cKP,mKP方程分解为(1+1)维可积方程,研究2阶复AKNS方程和3阶复AKNS方程的相容解与广义(2+1)维KP,cKP,mKP方程的解之间的关系,并利用Darboux变换得到它们的孤子解,进而将解表示为双Wronskian行列式形式。3.分别利用Hirota方法与Wronskian技术给出五阶KdV方程及其约束方程的精确解,并证明两种解的一致性.将双Wronskian元素满足的条件推广到矩阵情形,导出等谱Levi方程广义双Wronskian行列式解,其中包括孤子解、有理解、Matveev解、complexiton解及混合解。给出非等谱Levi方程的双Wronskian行列式解。研究等谱与非等谱Levi方程孤子解的动力学行为包括单孤子的特征以及双孤子的散射。

全文目录


摘要  7-8
Abstract  8-12
第一章 绪论  12-25
  §1.1 引言  12-13
  §1.2 孤子方程的求解  13-17
  §1.3 可积系统  17-21
  §1.4 可积系统的扩展  21-24
  §1.5 本文的主要工作  24-25
第二章 预备知识  25-30
  §2.1 变分恒等式与Hamilton系统  25-27
  §2.2 线性导数的定义及性质  27-28
  §2.3 Wronskian行列式  28-30
第三章 可积系统  30-53
  §3.1 一个3×3谱问题及其相应的可积方程族,Hamilton结构  30-33
  §3.2 对称约束  33-38
  §3.3 可积耦合  38-43
  §3.4 可积耦合系统的Hamilton结构  43-48
  §3.5 非等谱非交换KP方程族  48-53
    §3.5.1 拟微分算子的Lax方程  48-49
    §3.5.2 等谱非交换KP方程族  49-51
    §3.5.3 非等谱非交换KP方程族  51-53
第四章 可积分解  53-69
  §4.1 变系数非线性演化方程的Frobenius可积分解  53-57
  §4.2 广义KP,cKP和mKP方程的分解  57-69
第五章 非线性可积方程的精确解  69-118
  §5.1 约束方程与五阶KdV方程的精确解  69-84
    §5.1.1 Hirota形式的解  69-72
    §5.1.2 恒等式与相关的命题  72-79
    §5.1.3 Wronskian行列式形式的解  79-83
    §5.1.4 N孤子解的一致性  83-84
  §5.2 等谱Levi方程的精确解  84-105
    §5.2.1 Hirota形式的解  85-89
    §5.2.2 孤子解的动力学特征  89-90
    §5.2.3 广义双Wronskian行列式解  90-94
    §5.2.4 有理解  94-97
    §5.2.5 Matveev解  97-99
    §5.2.6 Complexitons解  99-103
    §5.2.7 混合解  103-105
  §5.3 非等谱Levi方程的精确解  105-118
    §5.3.1 Hirota形式的N孤子解  105-112
    §5.3.2 孤子解的动力学特征  112-113
    §5.3.3 双Wronskian行列式解  113-118
参考文献  118-141
博士期间科研成果  141-143
致谢  143

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 非线性偏微分方程
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