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几类特殊分块矩阵及结构矩阵有关快速算法的研究

作　者: 卢学飞
导　师: 徐仲
学　校: 西北工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 分块五对角矩阵分块拟三对角矩阵 Hankel矩阵 Vandermonde型矩阵 Loewner型矩阵线性方程组三角分解逆矩阵快速算法
分类号: O241.6
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

本文对工程与科学计算中经常遇到的一些特殊矩阵，如分块循环三对角矩阵、分块三对角矩阵、分块五对角矩阵、分块拟三对角矩阵、Hankel型矩阵、Vandermonde型矩阵、Loewner型矩阵、对称Loewner型矩阵等进行研究，给出了求解线性方程组、三角分解、逆矩阵等的若干快速算法．这些算法中，有些是新的，而有些是对原有算法的改进或推广。首先，对于分块循环三对角、分块三(五)对角矩阵，根据这类矩阵的特殊分解，给出了一种新的算法．该算法含有可以选择的参数矩阵，适当选择这些参数矩阵，可以使得计算精度较著名的追赶法高，甚至当追赶法失效时，由该算法仍可得到一定精度的解。其次，建立了求解分块拟三对角方程组的三种直接算法：追赶法、三参数组法和线性插值法，分析了算法的稳定性，通过算例比较了算法的优劣。算例表明，对于某个算法失效的情形，利用其它算法可以求解，因此这三种直接算法是互为补充的。同时，还给出了求解分块拟三对角方程组的一种迭代算法-PE_k方法，分析了算法的可行性和收敛性，数值算例表明此方法要优于现有的一些迭代方法。再次，利用Hankel矩阵的特殊结构，给出了求解Hankel矩阵及其逆矩阵的快速三角分解算法，所需计算量为O(n~2)，并与经典算法Chun-Kailath算法进行了比较。最后，利用Vandermonde型矩阵、Loewner型矩阵、对称Loewner型矩阵的特殊结构和性质，给出了求其逆矩阵的快速算法。该算法所需计算量为O(n~2)，而通常的求逆方法的计算量为O(n~3)。并通过数值算例将本文所给的算法与求逆矩阵的全选主元高斯-约当消去法进行了比较。

全文目录

摘要  3-5
Abstract  5-9
第一章绪论  9-20
  §1.1 应用背景及其研究现状  9-12
    一、研究意义  9-10
    二、研究现状  10-11
    三、研究内容及安排  11-12
  §1.2 几类特殊矩阵的定义  12-14
  §1.3 问题的提出  14-16
  §1.4 追赶法  16-20
    一、分块循环三对角方程组的追赶法  16-17
    二、分块三对角方程组的追赶法  17-18
    三、分块五对角方程组的追赶法  18-20
第二章几类特殊分块方程组的多参数追赶法  20-42
  §2.1 分块循环三对角方程组的双参数追赶法  20-25
  §2.2 分块三对角的方程组的双参数追赶法  25-30
  §2.3 分块五对角方程组的多参数追赶法  30-34
  §2.4 数值算例  34-42
第三章分块拟三对角方程组的求解  42-61
  §3.1 求解分块拟三对角方程组的追赶法  42-44
  §3.2 求解分块拟三对角方程组的三参数组法  44-48
    一、算法的推导  44-46
    二、解的存在性和数值稳定性分析  46-48
  §3.3 求解分块拟三对角方程组的线性插值法  48-52
    一、算法的推导  48-50
    二、解的存在性和数值稳定性分析  50-52
  §3.4 求解分块拟三对角方程组的PE_k方法  52-57
    一、PE_k方法的基本原理  52-55
    二、PE_k方法的收敛性  55-57
  §3.5 数值算例  57-61
第四章 Hankel矩阵的快速三角分解  61-69
  §4.1 Hankel矩阵及其逆矩阵的快速三角分解算法  61-66
    一、Hankel矩阵的快速三角分解  61-64
    二、Hankel矩阵的逆矩阵的快速三角分解  64-66
  §4.2 数值算例  66-69
第五章几种型矩阵求逆的快速算法  69-84
  §5.1 相关矩阵的定义及其性质  69-70
  §5.2 Vandermonde型矩阵求逆的快速算法  70-74
  §5.3 Loewner型矩阵求逆的快速算法  74-77
  §5.4 对称Loewner型矩阵求逆的快速算法  77-79
  §5.5 数值算例  79-84
结束语  84-85
硕士阶段的研究成果  85-86
致谢  86-87
参考文献  87-91

几类特殊分块矩阵及结构矩阵有关快速算法的研究

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