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k-Hessian方程的Dirichlet问题

作　者: 矫贺明
导　师: 包革军
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: k-Hessian方程 Dirichlet问题 k-容许函数 k-Hessian测度 k-Hessian容量
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
下　载: 25次
引　用: 1次
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内容摘要

在微分几何,复分析和应用科学中出现了一类完全非线性偏微分方程,即Monge-Ampere方程。本文所要讨论的k-Hessian方程就是Monge-Ampere方程的一个推广。另外,k-Hessian方程本身对于微分几何,及许多应用科学也有重大的意义,因此,对k-Hessian方程的研究是很有价值的。当k≥2时,k-Hessian方程是一类复杂的完全非线性方程,对它的研究又是很有挑战的,需要深入了解几何,代数,分析,偏微分方程等各个领域的知识。本文主要介绍关于k-Hessian方程的Dirichlet问题的研究方法及成果。在本文的第一章介绍了k-Hessian方程的背景和定义以及一些偏微分方程的基本概念。在第二章,介绍了k-容许函数的概念,并且说明在k-容许函数下,k-Hessian方程的椭圆性和k-Hessian算子的凹性。接下来在第三章,叙述了一个著名的关于k-Hessian方程的Dirichlet问题的古典解的存在性和正则性的证明。在第四章中,介绍了k-Hessian测度和k-Hessian方程弱解的定义,并且叙述了一个关于弱解的存在性的证明,介绍了非光滑k-容许函数的正则性的研究进展。最后,在第五章中介绍了k-Hessian容量的概念和弱解的唯一性问题的研究进展,并对其做了进一步的研究。关于k-Hessian方程,留给人们的问题还有很多,比如弱解的正则性和唯一性的问题,以及在减弱一定条件后的古典解的存在性和正则性问题等等。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
第1章绪论  8-11
  1.1 k-Hessian方程的背景及基本概念  8-9
  1.2 一些关于初等对称多项式的代数不等式  9-10
  1.3 (k-1)-凸区域  10
  1.4 本文的内容与结构  10-11
第2章 k-容许函数  11-15
  2.1 k-容许函数的定义  11-12
  2.2 k-Hessian算子的椭圆性  12-13
  2.3 S_k~(1/k)的凹性  13-14
  2.4 k-容许函数的存在性  14
  2.5 本章小结  14-15
第3章 Dirichlet问题的古典解  15-23
  3.1 先验估计  15-20
  3.2 Dirichlet问题光滑解的存在性  20-21
  3.3 本章小结  21-23
第4章 k-Hessian方程的弱解  23-32
  4.1 非光滑k-容许函数  23-24
  4.2 k-Hessian测度  24-27
  4.3 k-Hessian方程的弱解的存在性  27-30
  4.4 弱解的正则性  30-31
  4.5 本章小结  31-32
第5章 k-Hessian容量与弱解的唯一性  32-39
  5.1 连续k-容许弱解的唯一性  32-33
  5.2 混合Hessian测度  33-34
  5.3 k-Hessian容量  34-37
  5.4 弱解的几乎处处唯一性  37-38
  5.5 本章小结  38-39
结论  39-40
参考文献  40-43
攻读硕士学位期间发表的学术论文  43-45
致谢  45

k-Hessian方程的Dirichlet问题

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