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色散方程和退化松驰Dirichlet问题的若干问题

作　者: 刘晓风
导　师: 王斯雷；陈杰诚
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: Dirichlet问题色散方程若干问题调和分析径向函数 Cauchy问题非线性色散方程参考文献定解问题微分方程
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2001年
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内容摘要

具有近二百年历史的调和分析是数学中的一个相当完善的分支，是数学的核心学科之一，其方法几乎渗透到其它所有的数学分支并得到广泛的应用。调和分析在偏微分方程方面的应用是其中相当重要的方面。调和分析中的许多工具，如插值方法，极大函数方法，位势理论等，是偏微分方程研究中的必备工具。一方面，在二阶椭圆型方程边值问题中的应用，我们可以参考C.E.Kenig的[35]及其中的参考文献。另一方面，在发展型方程的定解问题中的应用是以振荡积分估计，位势估计为基础，通过建立时空估计来讨论非线性问题解的适定性的，此时的关键在于建立非线性项的估计。这方面，J.Ginibre，T.Cazenave，C.E.Kenig，G.Ponce，L.Vega，J.Bourgain等人作了很出色的工作，这方面的工作可参考苗长兴所著的[50]，J.Bourgain所著的[8]及它们所附的参考文献和T.Tao的个人主页(http://www.math.ucla.edu／~tao)中所列的参考文献。本文主要是要利用调和分析的方法讨论偏微分方程中的若干问题。全文分两个部分。第一部分包含三章，第一章考虑一般的自由色散方程问题的L~P-Besov估计；第二章考虑耦合Schrōdinger-KdV方程的Cauchy问题；第三章考虑一个浅水波方程的Cauchy问题。第二部分包含一章，考虑退化松弛的Dirichlet问题。第一章首先考虑一般的色散方程这里D一叔”1，一人)，句一舜，j=1，“，一“，P(n)由是其特征所定义的，即p(D)了(·)一j·‘·‘p(:)j(;)d;·(0 .1.2)从可微性角度看w(t)不存在任何整体的正则性.不过，存在其它类型的正则性，一方面存在可积性指标提升，另一方面，存在局部可微正则性.它不仅可用于非线性色散方程定解问题的研究，还可改进著名的c arleson猜测.Carlesoll猜测在一维情形已彻底解决.但对高维情形，尽管有许多的部分结果，基本上还是公开问题. 5.1、Ik~。和T.Mux~tu在【25」中讨论了(0.1.1)解的护一Besov空间估计，其中尸(若)=}石}“，具体结果参考!25」Theorem3和Theorem4，本章讨论以下色散方程氏u一￡n(D)二=0，(二，t)任皿n只丑，u(:，0)=f(:)(0 .1.3)解(形式上)U‘一‘，一(s·‘，(一‘，一jj·“一，’““。“，‘(。，d‘d，(0·‘·‘，的一些范数估计，其中n全2，几是径向函数，本章的主要结果:定理0.1.1若侧幼=州引)，即n是径向函数，定义算子T为(T，)(一‘卜jj·“一，‘·““‘’‘”，(;)d‘d;·(0 .1，5)令7的取值范围为0<7三n一1，0<守<n一1，当n=2，当n七3，则T是从B片1+的/2到L，黔上有界的，这里 1 In+1+7 q夕Zn更确切地，存在常数C>0，使得P，q>1.1 ITfllL茎L尸兰Cllfll。。n.+1+，)/“·(0 .1.6)定理0.LZT是从弓1，pZ到L产L罗上有界的，这里。二e(晋+l)，n口一口占十P21一0 21一夕 2 一一1一卯口一，上 +n口一p +1一8 2 一一1一Pl而0三0三1，更确切地，存在常数C>0，使得 1 ITfl!L护L:三Cl}flt。;，，，2·定理0.1.3若侧的=6(IfI)，而且在去掉一个含原点的邻域后，c。肆一‘。‘，这里。是多重指标·则T是玛?l+1+的“/‘到L执产确切地，存在常数C=c(n，a，的>0，使得(0 .1.7) {口“几(石)}二上有界的，更}ITf}IL;L:三Cllfll。{?1+1‘，，n‘4·(0 .1.8)定理0.1.4在定理口，1.泞的条件下，设11一P 一..上一q‘几一2 +n一4 一一 J则T是B灯，十，’口到L至Lr上有界的，更确切地，存在常数C一侧。，。，:，川>0，使得1 JTfIJL;L:三Cilfl{。灯1+·，。·(0 .1.9)注0.1.1容易验证几“)=}石}a，验证 n(石)a>1满足定理0.1.夕中的条件.同样的，可以=几1(石)+…+几、(石)，其中鸟(幻=cjI引%，1<al<…<叭，且c，尹0，j=1，…，无，也满足定理口.1.“的条件. 第二章长波和短波相互作用的现象是波动理论中的一个研究对象，在许多的物理背景中都有研究.通常，短波由schr6dinger型方程描述，长波由某类含有一个色散项的波动方程描述.Kawahara等人在!34{中研究了祸合系统‘氏s+艺es氏S+口呈s=asL，口亡L+气氏L十理L十氏护=t，之任皿，(0 .2.1)口因Sl“这里a，月，cL，。:是实数.当共鸣条件cL=cs=0成立时，这个方程就是祸合的schr6dinger一Kdy方程.本章考虑以下广义的锅合schr6dinger一Kdy方程cauchy问题:‘氏u+a髯。=石u。+e}u}p。，(t，:)任1 xl，口‘v+a越v士氏(}u}2+vZ)=o，。(0)=。。，v(0)=v。，(0 .2.2)其中p>1，a，石，c，Q任皿.主要结果是:定理0.2.1当，=2时，设1>，>3/4，w。=(u。，。0):H·+合(皿)又H·(l)，贝，l 阳存在T一到fluolls十合十11 volls)>叮当p/氏到川/0)和唯一的强解二(艺)=(u(t)，v(t))满足以下性质:。:e([一T，T]:H·+合(皿))， 1 Iul{L圣L汗<co’ }!氏“日

全文目录

中文摘要  5-12
英文摘要  12-20
第一章一类色散方程的L~p-Besov估计  20-36
  1.1 引言  20-24
  1.2 基本引理  24-26
  1.3 重要引理  26-29
  1.4 定理证明  29-36
第二章广义耦合Schr(?)dinger-KdV方程的Cauchy问题  36-57
  2.1 引言  36-40
  2.2 线性估计  40-41
  2.3 非线性估计  41-50
  2.4 定理证明  50-57
第三章一个浅水波方程的Cauchy问题  57-81
  3.1 背景及其结果  57-59
  3.2 线性估计  59-62
  3.3 非线性估计  62-76
  3.4 定理证明  76-81
第四章退化松弛的Dirichlet问题  81-107
  4.1 引言  81-84
  4.2 退化松弛的Dirichlet问题  84-86
  4.3 关于μ-容量的Poincaré不等式  86-89
  4.4 K_η(Ω)和K_η~(loc)(Ω)  89-92
  4.5 Wiener准则和能量估计  92-102
  4.6 解的正则性  102-107
参考文献  107-112

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