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关于最小原根的两个结果

作　者: 龚克
导　师: 王天泽
学　校: 河南大学
专　业: 应用数学
关键词: 原根 GRH 数域函数域筛法特征和
分类号: O156
类　型: 硕士论文
年　份: 2005年
下　载: 56次
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内容摘要

素数p的最小正原根g(p)的阶的估计是数论中的一个重要问题.1960年前后王元和D.A.Burgess利用A.Weil关于有限域上代数函数域的Riemann猜想的深刻结果分别独立得到g(p)=O(p~1/4+ε),其中ε是任一正数.王元还在假定有理数域中广义Riemann猜想成立的条件下利用Brun筛法得到g(p)=O(m~6log~2p),其中m代表p-1的互异素因子的个数.1992年,V.Shoup利用Iwaniec筛法改进了王元的条件结果,他得到g(p)=O(m~4(1ogm+1)~4log~2p).2004年,王永晖和C.Bauer又将王元的条件结果推广到代数数域.在函数域上,许志农1998年给出了模不可约多项式的最小原根的估计.本文将利用Iwaniec筛法在代数数域和函数域两种情况下考虑最小原根的估计,改进王永晖和C.Bauer及许志农的相关结果. 全文共分三章.第一章介绍原根的定义及最小正原根估计方面的已有结果,并简述本文所使用的方法.第二章首先引入Grossen-特征及Hecke zeta函数,然后证明任意代数数域上的一个Perron公式,并利用Hecke zeta函数的若干估计给出代数数域上的特征和估计,最后应用Iwaniec筛法改进目前最小正原根阶的估计方面的已有结果.详言之,我们证明了:假设代数数域中的广义Riemann猜想成立,则存在一个完全正的模素理想p的原根v,满足 Nv《m~4(1Ogm+1)~4(1OgNp)~2,其中m=ω(φ(Np)),ω(n)代表n的互异素因子的个数,φ为Euler函数.在本文第三章,再次利用Iwaniec筛法改进许志农在函数域上最小原根的结果,我们证明了:设P是一个系数在q元有限域F_q上的一元首一不可约多项式,则模P的最小原根的次数≤61og_q(degP+1)+c,其中c是任一正数.

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-6
第一章引言及主要结果  6-9
第二章数域中的最小正原根  9-33
  §2.1 记号  9-10
  §2.2 数域中的Perron公式  10-24
  §2.3 有关Hecke zeta函数的估计  24-26
  §2.4 特征和估计与定理2的证明  26-30
  §2.5 Iwaniec筛法  30-31
  §2.6 定理1的证明  31-33
第三章函数域中的最小原根  33-36
  §3.1 记号  33
  §3.2 特征和估计  33-34
  §3.3 定理3的证明  34-36
参考文献  36-38

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