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对称及摄动方法在求解若干非线性微分方程中的应用

作　者: 王佳
导　师: 李彪
学　校: 宁波大学
专　业: 基础数学
关键词: 对称约化 精确解 推广的对称群 同伦分析方法 近似解
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要


随着科学技术的不断进步，非线性科学得到了迅速的发展。近些年来，非线性科学在生物学、化学、物理学、通讯、经济学等学科都有着广泛的应用，其中出现了大量的非线性系统。在过去，各种各样的求解非线性系统的方法已经建立并有了一些发展，如反散射方法、达布变换法、贝克隆变换法、分离变量法等。对于求解非线性系统的对称及其约化，存在着两大方法：cK直接法和对称群直接法以及经典、非经典李群法。前者是从代数的角度来求解非线性偏微分方程，而后者的求解是基于群论的。无论是可积的还是不可积的非线性系统，我们都希望能够得到它们的精确解，从而更好地解释蕴含在这一系统当中的实际问题，但是也有很多时候求它们的精确解是一件很困难的事情，因此许多数学家和物理学家提出了一些求非线性系统的近似解或者数值解的方法，比如Ad。mian分解方法、摄动方法、同伦分析法等。本文就以对称方法和同伦分析方法为基础，对一些非线性微分方程进行了研究。论文安排如下：第一章，简要介绍了孤立子的发展慨况以及求解非线性数学物理方程精确解和近似解的几种方法。第二章，基于对称群方法和符号计算，研究了非线性系统的对称约化和对称变换群。首先利用传统的cK方法给出了nearly concentric KdV方程的低维约化；其次，基于楼森岳教授等提出的修正cK直接法的思想，获得了coupled Kadomtgev-petviashvili方程的有限对称变换群。第三章，扩展了推广对称群理论的应用范围，研究了广义的(2+1)维变系数非线性schrodinger方程和Kadomtsev—Petviashvili方程的对称约化与精确解，并通过图像分析与数值模拟，给出了一些精确解的物理解释。第四章，基于同伦分析方法给出了klein-gordon-schrodinger方程的解析近似解，并通过数值模拟和误差分析，验证了所得解析近似解的有效性。

全文目录


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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 非线性偏微分方程
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