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西罗定理的一个推广

作　者: 周超
导　师: 杨志青
学　校: 大连理工大学
专　业: 基础数学
关键词: 西罗子群 群的扩张 亚循环群 二项同余式
分类号: O152.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要


本文讨论Sylow定理逆命题:给定素数p,是否对于任意的非负整数k,存在一个有限群恰有kp+1个p阶子群?本文所证明的就是,在一些特殊情况下定理的逆命题是成立的。利用群的扩张理论和数论的基础知识本文证明了当p=2时定理的逆命题是正确的,即对于2k+1 （k=0,1,2......）,存在群具恰有2k+1个2阶子群,这种群就是正2k+1,（k=0,1,2,...）边形的对称群D2k+1;当（?）=kp+1（n为正整数）时,逆命题是成立的,即存在pn阶的有限生成Abel群,使得它的p阶元素的个数恰好为（p-1）（kp+1）;当kp+1（p为奇素数）恰好为素数时,逆命题也成立,即总存在p（kp+1）阶的群,使得它恰好有（kp+1）个p阶子群,且不同子群的p阶元素不交换。本文也讨论了若一个群恰好有7个3阶子群,其中一个子群的3阶元素和另外子群的3阶元素是否交换的问题,但没有得出明确的结果,只是得出以下结论:1若存在群恰好有7个3阶子群,那么这些不同子群的3阶元素一定不都交换。2若存在群恰好有7个3阶子群,有4个子群的3阶元素互相交换,但没有另外的3阶元素与它们交换,这样的群是不存在的。

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 群论 > 有限群论
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