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关于不定方程x~3±27=Dy~2

作　者: 李双娥
导　师: 罗明
学　校: 重庆师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 不定方程整数解递归序列平方剩余 Jaccobi符号
分类号: O151.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 84次
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内容摘要

不定方程不仅自身发展异常活跃,而且全面应用于离散数学的其他各个领域。它对人们学习研究和解决实际问题有着重要作用。因此,国内外有不少学者对不定方程进行了广泛深入的研究。关于不定方程x³±27 =Dy²（ D >0）已有不少研究工作,特别是当D无平方因子且无6 k +1形状的素数因子时,已有很多很好的结果。但当D不含平方因子,且被6 k +1型素因数整除时,方程的求解比较困难。当3| x,0 < 3D<100时,不定方程x³±27 =Dy²可转化为x₁³±1 = 3Dy₁²,这两类方程的整数解已全部解决;但当3 /| x,0 < 3D<100时,不定方程x³±27 =Dy²的整数解的问题至今仍未解决。本文主要利用递归序列、同余式、maple程序以及Pell方程的性质、平方剩余,主要证明了五组不定方程x³±27 =Dy²（D=7,13,19,26,31）的所有整数解。本文分四个章节来说明。第一章综述了关于不定方程x³±27 =Dy²的国内外研究现状。第二章给出了全文的预备知识,对Pell方程的性质、递归序列的由来和同余式的方法都有简单的介绍。第三章主要分五节具体证明了不定方程x³±27 =Dy²（D=7,13,19,26,31）的全部整数解。第一节证明了不定方程x³ + 27 = 7y²仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）,（ 1 ,±2 ）,不定方程x³ - 27 =7y²仅有整数解（ x ,y）=（3,0）;第二节证明了不定方程x³ + 27 = 13y²仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）,不定方程x³ - 27 = 13y²仅有整数解（ x ,y）=（3,0）;第三节证明了不定方程x³ + 27 = 19y²仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）, （ 24,±9）, （ -2 ,±1）,不定方程x³ - 27 = 19y²仅有整数解（ x ,y）=（3,0）;第四节证明了不定方程x³ + 27 = 26y²仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）, （ -1 ,±1）, （ -7 19,±3781）,不定方程x³ -27 = 26y²仅有整数解（ x ,y）=（3,0）;第五节证明了不定方程x³ + 27 = 31y²仅有整数解（ x ,y）=（-3,0）,不定方程x³ -27 = 31y²仅有整数解（ x ,y）=（3,0）。第四章对全文作了一个总结,并对未来可能的发展方向提出了一些有待研究的问题。

全文目录

摘要  4-5
ABSTRACT  5-8
1 绪论  8-10
  1.1 关于不定方程x~3±27 = Dy~2 (D > 0 )  8
  1.2 本文的安排  8-10
2 预备知识  10-15
  2.1 同余，同余式及其性质  10-11
  2.2 Legendre 符号与Jacobi 符号  11
  2.3 Pell 方程的定义及解的性质  11-15
3 关于不定方程x~3±27 = Dy~2  15-42
  3.1 关于不定方程x~3±27 = 7 y~2  15-21
  3.2 关于不定方程x~3±27 = 13 y~2  21-24
  3.3 关于不定方程x~3±27 = 19 y~2  24-31
  3.4 关于不定方程x~3±27 = 26 y~2  31-39
  3.5 关于不定方程x~3±27 = 31 y~2  39-42
4 结束语及后继工作  42-43
参考文献  43-44
研究生期间发表的论文  44-45
致谢  45

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