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Smarandache函数及其相关序列的算术性质研究

作　者: 田呈亮
导　师: 张文鹏
学　校: 西北大学
专　业: 基础数学
关键词: Smarandache函数渐近公式方程正整数解无穷级数
分类号: O156.4
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 45次
引　用: 3次
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内容摘要

对各种算术序列性质的研究一直是数论研究的核心内容.1993年,美籍罗马尼亚著名数论专家Florentin Smarandache教授出版了《只有问题,没有解答!》一书.在该书中,他提出了105个关于特殊序列、算术函数等未解决的数学问题及猜想,随着这些问题的提出,许多学者对此进行了深入的研究,并获得了不少具有重要理论价值的研究成果.基于对以上问题的兴趣,本文利用初等及解析方法从以下三个切入点对Smarandache函数及其相关序列的算术性质进行了研究:（1）序列的均值性质;（2）包含这些序列的无穷级数的敛散性估计及其计算;（3）包含这些序列的方程的正整数解.具体来说,本文的主要成果包括以下几方面:1.研究了两个包含伪Smarandache函数及Euler-φ函数的方程的可解性问题,给出了它们有解的必要条件及某些特殊情形下解的具体表达形式,完全解决了Chares Ashbacher提出的两个问题.2.给出了Smarandache LCM函数的对偶函数SL^*（n）的定义,并利用初等方法研究了一个包含SL^*（n）的Dirichlet级数计算问题及SL^*（n）的均值性质,分别给出了精确计算公式和一个较强的渐近公式,同时我们还研究了三个包含此函数的方程的可解性,并且给出了它们的全部正整数解.3.利用初等方法研究了包含Smarandache幂函数的方程SP（n^k）=φ（n）,并给出了该方程在k=1,2,3时的所有正整数解.4.利用初等方法研究了方程φ（φ（n））=2^Ω（n）的可解性,这里函数Ω（n）定义为:Ω（1）=0,Ω（n）=（?）,其中n=p₁^α1p₂^α2…p_k^αk是n的标准分解式,φ（n）为Euler函数,并获得该方程的所有正整数解,从而彻底解决了张天平博士提出的一个问题.

全文目录

中文摘要  3-4
Abstract(英文摘要)  4-7
第一章绪论  7-10
   1.1 研究背景与课题意义  7-9
   1.2 主要成果和内容组织  9-10
第二章关于伪Smarandache函数的两个问题  10-17
   2.1 引言及结论  10-11
   2.2 定理的证明  11-17
第三章关于Smarandache LCM函数的对偶函数  17-29
   3.1 引言  17-18
   3.2 Smarandache LCM函数的对偶函数的均值  18-20
   3.3 包含Smarandache LCM函数的对偶函数的无穷级数  20-21
   3.4 与Smarandache LCM函数的对偶函数有关的方程  21-29
第四章关于Smarandache幂函数  29-34
   4.1 引言及结论  29-30
   4.2 定理的证明  30-34
第五章一个包含欧拉函数的方程  34-38
   5.1 引言及结论  34
   5.2 定理的证明  34-38
总结与展望  38-39
参考文献  39-43
攻读硕士学位期间取得的学术成果  43-44
致谢  44

Smarandache函数及其相关序列的算术性质研究

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