|
本论文首先研究一类半线性椭圆方程用变分法和一些分析技巧研究其解的存在性和多重性.这一类问题不仅带有Hardy项和加权Hardy-sobolev临界指数,而且第一项也含有奇异系数.其中Ω是RN（N≥3）中的有界光滑区域,0∈Ω,0≤a<（?）,（?）,0≤μ<（（?）-a）2,a≤b<a+1,l=l（a,b）（?）是加权Hardy-sobolev临界指数且l（a,a）=（?）=2*是sobolev临界指数.f满足条件:f∈C（（?）×R十,R）,存在某个常量ρ>2使得（?）=σ>0,（?）=0,x∈（?）,且0<ρF（x,t）≤f（x,t）t,x∈（?）,t∈R+＼{0}其中F（x,t）是f（x,t）的原函数.对方程所对应的能量泛函的（PS）序列进行了仔细的讨论,给出了局部紧性结果,通过Rn中最佳常数的达到函数和山路引理证明了（PS）序列的存在性,进而利用这两个结果和强极大值原理证明了该方程正解的存在性.另外,在一定条件下给出了方程解的多重性结果.其次,把方程推广到如下的p-Laplacian的情形:其中1<p<N,q=q（a,b）（?）是加权Hardy-soboleV临界指数,λ>0是实参数,分别证明了方程在一定条件下有正解和非平凡解.定理1假设N≥3（1+a）,0≤a<（?）,0≤μ<（（?）-a）2,a≤b<a+1,且存在一个常量ρ>2使得（f1）f∈C（（?）×R+,R）,（?）=σ>0,（?）=0在x∈（?）上一致成立,且（f2）0<ρF（x,t）≤f（x,t）t对任意的x∈（?）,t∈R+＼{0}成立.假定其中（?）.则问题（1）至少有一个正解.推论1假设N≥4（1十a）,0≤a<（?）,0≤μ≤（（?）-a）2-（1+a）2,a≤b<a+1.设存在一个常量ρ>2使得（f1）和（f2）成立.则问题（1）至少有一个正解.定理2假设N≥3（1+a）,0≤a<（?）,0≤μ<（（?）-a）2,a≤b<a+1,且存在一个常量ρ>2使得（f3）f∈C（（?）R）,和（?）=σ>0,（?）=0在x∈（?）上一致成立,且（f4）0<ρF（x,t）≤f（x,t）t对任意的x∈（?）,t∈R＼{0}成立.假定（3）成立.则问题（1）至少有两个不同的非平凡解.推论2假设N≥4（1+a）,0≤a<（?）,0≤μ≤（（?）-a）2-（1+a）2，a≤b<a+1.假定存在一个常量ρ>2使得（f3）和（f4）成立.则问题（1）至少有两个不同的非平凡解.定理3假设N≥3（1+a）,0≤a<（?）,0≤μ<（（?）-a）p,a≤b<a+1,ω是Ω的一个非空开子集,（ξ,η）（?）（0,+∞）为非空开区间且f（x,t）满足则存在λ0>0,对每一个λ≥λ0,问题（2）都有一个正解.定理4假设N≥3（1+a）,0≤a<（?）,0≤μ<（（?）-a）p,a≤b<a+1,ω是Ω的一个非空开子集, （ξ,η）（?）（0,+∞）为非空开区间且f（x,t）满足则存在灭（?）>0,对每一个λ≥（?）,问题（2）至少有两个不同的非平凡解
|