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几种逻辑代数的剩余格刻画及命题逻辑系统中条件真度的比较

作　者: 范欣
导　师: 王国俊
学　校: 陕西师范大学
专　业: 基础数学
关键词: MV代数 R0代数 WBR0代数剩余格特征定理 L*系统 G(o ¨)del系统条件真度
分类号: O141.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

用代数的方法研究逻辑问题近年来是逻辑领域中备受关注的热点问题之一,在不同的逻辑背景中,学者们先后引入了许多不同的逻辑代数系统.对于非经典逻辑而言,不同逻辑已建立起与之匹配的诸如MV代数,R0代数：FI-代数,BL-代数,BRo代数等一些重要的逻辑代数系统([5][23][24]).MV代数是著名数学家C.C.Chang引入的一种代数体系,目的是为解决Lukasiwicz多值逻辑系统的完备性.近几十年来,关于MV代数的研究长盛不衰.文献[5][14]还给出了MV代数更加系统的论述,对于这种代数的研究理论上已经取得了丰硕的成果,其中包含了对各种代数以及它们之间关系的重要讨论与分析比较.王国俊教授在文献[15]中,给出了三种彼此等价的不同形式的MV代数,并且证明了格蕴涵代数和一类FI-代数等价于MV代数的结论.王国俊教授在1997年针对模糊命题演算建立了一种形式演绎系统L*，并且在此基础上给出了与之相匹配的R0代数[3].之后,许多学者在这方面作了很多相关的研究,给出了一系列的研究成果([16]-[22]).文献[4]中对R0代数与剩余格进行了比较分析,用剩余格的方法给出了R0代数的等价定义,指出了R0代数的剩余格本质.随后,吴洪博教授又对Ro代数和L*系统进行了推广，在文献[13]中提出了BRo代数,即在R0代数的基础上减少条件得到的一种新的代数系统,从而具有了相应的重要性质,并且给予了证明.文献[6]中讨论了BRo代数的一种无序表示形式,定义了BRo代数,在讨论的过程中,首次提出了WBR0代数理论并讨论了相应的性质.文献[4]和[15]中表明,以上各种代数都可以和剩余格之间建立一定的联系：因而剩余格是与非经典逻辑：尤其是模糊逻辑密切相关的代数结构,是研究模糊逻辑的重要工具,可以说剩余格已经成为模糊逻辑中相当理想的代数框架.文献[7]中进一步对剩余格进行了研究,引入了正则剩余格的概念,给出了剩余格与正则剩余格的特征定理,最后讨论了剩余格与正则剩余格公理系统的独立性,以及与相近代数结构的关系.本文基于上述的理论和方法,对MV代数进行了进一步的研究,得到了MV代数的两个特征定理.此外.在正交模格上建立了一类弱于MV代数的PMV代数.得到了正交模格和这类代数系统之间的关系.另外,木为还将WBR0代数与剩余格进行了进一步的比较分析,得到了WBR0代数与正则剩余格等价的结论,进而用这种等价关系给出了WBR0代数的两种等价形式，从而从不同的角度重新定义了WBR0代数,也因此进一步说明了剩余格理论由于它的基础性和应用的广泛性而在逻辑代数中处于十分重要的地位.另外,我国在模糊逻辑系统的研究方面,近年来取得了很大的进展.王国俊教授己先后提出了模糊值、二值、n值命题逻辑公式真度的理论.特别是文献[2],它针对连续值命题逻辑引入了公式的真度的概念,建立了积分语义学理论,为连续值命题逻辑系统中的近似推理提供了一种可供利用的构架.文献[11]在此基础上给出了公式A在信息r下的条件真度的概念,把真度的概念加以扩充.如文献[12]给出的条件真度的概念,一个很大的理论支撑就是三值Lukasiewicz逻辑系统中广义演绎定理的成立,而在模糊命题系统Godel和L*中也有相应的定理成立,所以，也可类似地建立系统Godel和L*中条件真度的概念,并在其上讨论相应的性质.系统Godel和L*对应的蕴含算子→及其伴随三角模(?)的大小顺序如下：→God≤→L*,(?)L*≤(?)God,这是因为,也就是说，蕴含算子→和三角模(?)在这两种逻辑系统中的大小顺序是正好相反的.那么，在这两个逻辑系统中，在相同的信息r下,包含蕴涵算子→的公式,包含三角模算子(?)的公式以及同时包含了伴随对((?),→)的公式的条件真度的大小顺序又会怎样呢?基于上述这些问题,本文首先建立了系统Godel和L*中公式基于信息r下的条件真度的概念,然后以只包含蕴涵算子→的公式p→q,只包含三角模算子(?)的公式p(?)q,以及包含了一对伴随对及三个原子公式的公式(P(?)q)→r,p(?)(q→r),(p→q)(?)和p→(q(?)r)为例,在系统Godel和L*中计算：了基于同一信息r={p｝下的条件真度,然后进行了比较分析.本文共分四章,每章主要内容如下：第一章介绍阅读本文时所必须的有关知识.其中第一节简单介绍了儿种逻辑代数系统和剩余格的基本概念.第二节介绍了模糊命题系统Godel和L*中的有关真度和演绎定理的相关知识.第三节简要说明了本文所作的主要工作.第二章在几种重要的逻辑代数：MV代数,R0代数,BR0代数,WBR0代数与剩余格之间建立了等价关系,尤其是wBR0代数,通过对WBR0代数与剩余格的比较分析,得到了WBR0代数等价于止则剩余格的结论在此基础上，用这种等价关系给出了WBR0代数的两种等价形式,一定程度上简化了WBR0代数的定义.第三章对MV代数进行了进一步的研究,通过前文得到的MV代数与一类正则剩余格之间的等价关系,得到了MV代数的两个特征定理.此外,在正交模格上建立了一类弱于MV代数的PMV代数,得到了正交模格与这类代数之问的关系.第四章在两种模糊命题系统Godel和L*中作了一些关于条件真度的简单讨论.由于两种系统中蕴涵算子→及其伴随三角模(?)有相反的大小顺序,于是,本文试图得到同时包含了蕴涵算子→和三角模算子(?)的公式条件真度在这两种命题系统中的大小顺序.当然,这部分只是为得到理想的结果作了一些前期的准备工作,对六个具体公式进行了条件真度的计算.至于最后结论的成立还需要作很多后续工作.

全文目录

摘要  3-6
Abstract  6-9
主要符号表  9-11
前言  11-13
第1章预备知识  13-17
  1.1 几种逻辑代数和剩余格  13-15
  1.2 命题逻辑系统中公式的R-真度和演绎定理  15-16
  1.3 本文的主要研究工作  16-17
第2章几种代数系统的剩余格刻画  17-23
  2.1 MV代数的剩余格刻画  17-18
  2.2 R_0代数的剩余格刻画  18-19
  2.3 BR_0代数的剩余格刻画  19-20
  2.4 WBR_0代数的剩余格刻画  20-23
第3章 MV代数的进一步讨论  23-29
  3.1 MV代数的特征定理  23-25
  3.2 关于正交模格和MV代数  25-29
第4章模糊命题系统Godel和L~*中条件真度的比较  29-37
  4.1 引言  29-30
  4.2 模糊命题系统Godel和L~*中条件真度的比较  30-37
总结  37-39
参考文献  39-43
致谢  43-45
攻读硕士学位期间的研究成果  45

几种逻辑代数的剩余格刻画及命题逻辑系统中条件真度的比较

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