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不可压磁流体方程组弱解正则性的研究

作　者: 李凤萍
导　师: 原保全
学　校: 河南理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 磁流体方程组 轴对称解 弱解 Besov空间 正则准则 Littlewood-Paley分解 广义磁流体方程组 Bony仿积分解 光滑解 延拓准则 有限时间爆破解
分类号: O175.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要


本文研究不可压磁流体（MHD）方程组的弱解正则性.这里u,b,p分别是流体在（x,t）∈R3×[0,∞)处的速度向量,磁场向量,压力；f为外力；v,（?）是粘性系数；u0（x）,b0（x）是初始速度和初始磁场.当磁场b=0时,方程组（0.1）是Navier-Stokes方程.1933年,Leray提出了能量方法和紧致性方法,并且首次提出了Navier-Stokes方程弱解的存在性理论.相继地,他[19]于1934年提出了Navier-Stokes方程的后向自相似解的存在性问题.Necas,Ruzicka和Sverak在1996年给出了一个否定回答,证明得满足整体能量估计的自相似解为零解.如果自相似解满足局部能量估计,Tsai也得到了类似的结论.何成和辛周平证明,在动能较小的条件下,三维MHD方程组在Lp（p≥3）空间中只存在平凡后向自向相似解.本文从三个方面讨论不可压磁流体方程组弱解的正则性.一、首先考虑磁流体方程组弱解的正则性.由于弱强唯一性,即弱解正则化后与强解是一致的,所以我们先考虑光滑解的延拓准则.为此,先对方程组的非线性项轴对称化.一方面,利用轴对称解的性质和奇积分算子在Lp（1<p<∞）空间中的有界性,得到用（wθ,Jθ）的Lq（0,T;LP （R3））范数刻画的轴对称光滑解的延拓准则.另一方面,通过Littlewood-Paley分解将函数分解为高频、中频、低频三部分,针对各频段的特点采用不同的方法进行估计,利用奇积分算子在Besov空间B∞，∞0上的有界性、Bernstein不等式、Holder不等式等得到光滑解的延拓准则,若（wθ,Jθ）（或（wθ,▽（uθeθ）））∈L1 （0,T;B∞,∞0）,则光滑解可延拓到t=T外.最后,通过Serrin的唯一性理论得,弱解（u,b）在（0,T）上是正则的.二、从弱解正则性的另一个方面进行考虑.如果能量有限时,何成和辛周平明得三维MHD方程组在Lp（p≥3）空间中只存在平凡后向自相似解.当不限制能量有限时,是否有爆破解?事实上,我们利用分离变量法得到分离变量形式的有限时间爆破解；利用不可压磁流体方程组解的尺度不变性得到后向自相似型的有限时间爆破解.从这些解中得知有限时间爆破解大量存在.三、由于磁流现象的复杂性,研究者根据实际情况将磁流体方程组中的-△修正为（-Δ）α（α>0）,即得广义磁流体方程组.本文中研究广义磁流体方程组光滑解的延拓准则.一方面利用类似于磁流体方程组光滑解延拓准则的方法得到广义磁流体方程组轴对称光滑解的延拓准则.另一方面,利用Fourier局部化和Bony仿积分解讨论广义磁流体方程组一般光滑解的延拓准则.为此,首先将方程局部化,然后进行先验估计,利用Bony仿积分解得到交换子的估计.当p<∞时,运用B2,2s与Hs的等价性、插值不等式、Young不等式、Gronwall不等式等得到（u,b）的Hm估计.结合能量不等式,推出用（u,b）（或ω,J）)的Lq（0,T;Bp,∞0）模描述的光滑解延拓准则.当p=∞时,再利用Log型Sobolev不等式得到用（ω,J）的L1（0,T;B∞,∞0）刻画的光滑解延拓准则.

全文目录


摘要  4-6
Abstract  6-8
致谢  8-9
目录  9-10
1 绪论  10-16
  1.1 不可压磁流体方程组的研究背景和研究现状  10-13
  1.2 本文结构安排和主要结论  13-16
2 预备知识  16-24
  2.1 函数空间及Bony仿积分解的介绍  16-20
    2.1.1 L~p空间和Besov空间  16-17
    2.1.2 Besov空间  17-19
    2.1.3 Bony仿积分解  19-20
  2.2 轴对称解的表示及所具有的性质  20-24
3 不可压磁流体方程组弱解的正则准则  24-36
  3.1 引言  24-26
  3.2 主要结论的证明  26-36
4 不可压磁流体方程组的有限时间爆破解  36-42
5 不可压广义磁流体方程组解的延拓准则  42-52
  5.1 广义磁流体方程组轴对称光滑解的延拓准则  42-47
  5.2 广义磁流体方程组一般解的延拓准则  47-52
参考文献  52-56
作者简历  56-58
学位论文数据集  58

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程
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