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推广的mKP方程族

作　者: 金波
导　师: 曾云波
学　校: 清华大学
专　业: 数学
关键词: 带自相容源的可积系统 Lax表示推广的mKP方程族拟微分算子
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 9次
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内容摘要

孤子方程最基本的性质是它们可以写成一对线性问题的可积条件。如KdV方程,若假设本征函数随时间的发展由特定的微分算子N实现,再结合一维定态Schr¨odinger方程,就得到Schr¨odinger算子L与N算子的相容性表现为L随时变化由其本身与微分算子对易给出。从算子变化与对易角度来研究看待各种可积系统是很重要的;可积理论的一个基本问题就是寻找非线性偏微分方程与算子对L、N,使得该方程是L、N的相容性条件。此时称该方程是Lax意义下的可积系,算子对L、N称为Lax对。带自相容源(以下简称为“带源”)的可积系统在物理学中有广泛的应用。对于如何构造带源的方程,近来流行各种推广算子的办法。我们知道,标准的算子法构建方程族[1]的首要假设是存在一系列所谓的时间流,微分代数元沿着特定流的变化是通过相应的微分算子与给定的拟微分算子L的对易来给出的。从Gelfand-Dickey方程族到KP方程族,以及mKP方程族的推广则是令给定的“L”算子一步步地选取更一般的形式。另一方面,如文献[2]表明,对于2+1维(两个时间变量和一个空间变量)的情形,利用对称生成函数以及将约化方程看作带源二维方程族的静态方程,得到了带源二维方程族及其Lax表示。出于启发,我们可以采取如下观点:各种约束流虽然脱胎于原有的时间流,但在可能的约束条件下,它又是标准假定的时间流之变异;这使得我们干脆可以把种种约束流看成是一种新的时间流,并可假设微分代数元沿着新流的变化是刚好是通过相应的约束算子与给定的拟微分算子的对易来给出的。在这个思想的指导下,我们按照相似逻辑,在拟微分算子环的理论框架内分析了约束算子的运算特性,通过证明了新旧两种时间流的可交换性,最终建立了所谓的推广的mKP方程族(emKP),其间自然地得到相应的Lax表示。例子表明,有某些重要的已知方程族如可由我们的emKP取特定参数条件得到。

全文目录

摘要  2-3
Abstract  3-6
第1章引言  6-10
  1.1 问题的提出  6
  1.2 选题背景及意义  6-7
  1.3 文献综述  7-9
  1.4 文章安排  9-10
第2章微分代数简介  10-14
  2.1 微分代数的定义与运算  10-12
  2.2 微分代数的积分  12-14
第3章拟微分算子环与方程族的构建  14-20
  3.1 Gelfand-Dickey 方程族的构建  14-17
  3.2 从GD 方程族到KP 方程族  17-18
  3.3 mKP 方程族  18-20
第4章推广m KP 方程族  20-28
  4.1 mKP 方程族的一种推广  20-24
  4.2 emKP 方程族的n-约化系统  24-26
  4.3 emKP 方程族的k-约束系统  26-28
第5章结论  28-29
参考文献  29-32
致谢  32-33
个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果  33

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