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具有非退化变系数Schr（？）dinger方程的研究

作　者: 苗宇
导　师: 洪家兴
学　校: 复旦大学
专　业: 基础数学
关键词: Schr(o ¨)dinger方程 非退化二阶算子 拟微分算子 Wave-packets变换 二进分解 Isozaki-Kitada拟逆
分类号: O175.29
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要


本文考察具有非退化系数的Schr（?）dinger方程这里qij（x）是常系数的扰动，系数矩阵(qij)是非退化，并且满足Non-trapping条件（参见第一章定义1．3）。主要结论是如下两个定理（参见第一章第四节定理A和定理B）：定理A假设非退化条件、Non-trapping条件和衰减性条件成立，则非退化变系数Schr（?）dinger方程存在唯一解，并且对于任意0<T<∞，有其中（q，r）为非端点容许对（non-endpoint admissible pair）。定理B假设非退化条件、Non-trapping条件和衰减性条件成立，并且qij在无界区域是常数，则非退化变系数Schr（?）dinger方程存在唯一解，并且对于任意0<T<∞，任意容许对（g，r），有全文共分为五章。在第一章，我们叙述了自由Schr（?）dinger方程和具有非退化常系数的Schr（?）dinger方程的物理背景，介绍了Strichartz估计和loacal smooth-ing估计。引入了具有非退化变系数的Schr（?）dinger方程和Non-trapping条件，同时叙述了本文的主要研究结论和研究思路。在第二章，我们在Non-trapping条件下证明了Hamilton流（xt，ξt）的整体存在性和估计式。在此基础上用Kenig[35]的办法证明了具有非退化变系数Schr（?）dinger方程的local smoothing估计，这里我们用非光滑象征（non-regular symbol）的办法将系数的正则性降为C2+ε。在第三章，我们证明了有界区域的Strichartz估计。我们首先利用wave-packets变换重述了色散算子（dispersive operator）精确拟逆的构造。将有界区域的Strichartz估计转化为二进分解框架下的能量估计式这里Sλ是二进分解算子。根据Tataru的建议，我们利用scaling技巧和精确拟逆证明了上述不等式。将Tataru在[53]中关于椭圆Schr（?）dinger方程的Strichartz估计推广到一般非退化变系数的情形，并且证明方法更具有一般性。这里需要特别指出的是联系有界区域能量估计式和Strichartz估计的桥梁是local smoothing估计。为了证明无界区域的Strichartz估计，我们首先需要将问题简化。简化工作是在第四章完成的，我们构造了二阶椭圆算子P，使得换位算子[P，Q]=PQ-QP是零阶拟微分算子，然后利用Christ-Kiselev引理将问题转化为证明这里χ是截断函数。我们在第五章证明了上述不等式。为此我们应用Egrov的思想首先构造了将算子Q（x，D）正规化的位相（?）（x，ξ），即在此基础上我们首次在全空间构造了非退化二阶算子的Isozaki-Kitada拟逆。最后利用TT*论证和稳定位相法证明了算子的L∞→L1估计，进而证明了Strichartz不等式将Robbiano-Zuily和Bouclet-Tzvetkov关于变系数椭圆Schr（?）dinger方程的Strichartz估计推广到具有非退化变系数的Schr（?）dinger方程的情形。

全文目录


摘要  3-5
Abstract  5-7
目录  7-9
第一章 绪言  9-18
  1.1 物理背景  9-11
    1.1.1 经典Schr(?)dinger方程  9-10
    1.1.2 非退化系数的Schr(?)dinger方程  10-11
  1.2 自由Schr(?)dinger方程的性质  11-13
  1.3 已有研究结果  13-15
  1.4 主要结果  15-18
第二章 存在性和Local Smoothing估计  18-31
  2.1 Hamilton flow的分析  18-24
  2.2 位相函数的构造  24-26
  2.3 存在性及Local Smoothing估计  26-31
第三章 有界区域内的Strichartz估计  31-47
  3.1 问题的简化  31-33
  3.2 Wave-Packets变换及Parametrix的构造  33-38
    3.2.1 Wave-Packets变换及其性质  33-35
    3.2.2 Parametrix的构造  35-38
  3.3 不等式的证明  38-47
第四章 椭圆算子的构造和问题的简化  47-52
第五章 无界区域的Strichartz估计  52-72
  5.1 正规化  52-57
    5.1.1 Hamilton流的近似逼近  52-53
    5.1.2 位相函数的构造  53-57
  5.2 Isozaki-Kitada Parametrix的构造  57-66
  5.3 不等式的证明(对偶论证)  66-72
附录A 一些常用的定理和定义  72-74
附录B 自由Schr(?)dinger方程的Strichartz估计  74-76
附录C Egrov定理的证明  76-80
参考文献  80-87
致谢  87-88

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 非线性偏微分方程
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